第7章 参数估计习题参考答案
7.1 参数的点估计习题答案
1 解 （1）总体X的期望 E(X)?mp, 从而得到方程 mp??1n?ni?1Xi
所以p的矩估计量为 p??1mnn?i?1Xi?1mX.
x（2）总体X服从二项分布，则有 P(X?x)?Cmxp(1?p)m?x,x?0,1, ..m从而似然函数为
nnnL(p)??Ci?1ximpxi(1?p)m?xi?CCnx1mx2m...Cxnmp?i?1ximn?(1?p)?xii?1
n取对数 lnL(p)?ln(CC...C)??xilnp?(mn??xi)ln(1?p)，
i?1i?1x1mx2mxnm令
ddplnL(p)?1nix?pi?1?11?pn(mn??xi)?0，
i?1??解得p的极大似然估计值为 p?mni?1n1nxi?1mx，
??故极大似然估计量为 p?mni?11Xi?1mX.
2. 解（1）E(X)??10x?x??1dx??1??，从而得到方程
x??1????1nn?xi?1i?x
所以?的矩估计值为 ???n1?x.
n（2）似然函数为L(?)??i?1f(xi,?)??(x1x2...xn)n??1
(取对数 lnL??)nnl?n??(??1)i?1ix，ln
令
dd?lnL(?)?n???lnxi?1i?0,得?的极大似然估计值为????nn
i?lnxi?1 1
7.2估计量的评选标准习题答案
?1?E(1．解 （1） ?E?124421111?2?E(X1?X2?X)3?EX?1EX?2EX?3? E?623623?3?E( E?13X1?13X2?31X)3?31EX?141X1?141X2?1X3)?1EX1?1EX2?1EX3??
11EX?2EX?3?， 33?1,??2,??3均为?的无偏估计量。 ???1?（2）?D?116DX1?116DX2?14DX3?38?2??,同理D?2718?3??，D?213?.
2?3 最有效. ?3?D??1?D??2，???D?2.证明 ?E??2?(E??)2?D??， 又??是?的无偏估计量，即E????，且D???0，
22222?E?????D????. 故??不是?的无偏估计量.
23.解 总体服从正态分布N(?,?2)，从而Xi?1?Xi?N(0,2?).
??E[C?(Xi?1?Xi)]?C?E(Xi?1?Xi)?C??[E(Xi?1?Xi)]?D(Xi?1?Xi)?E?2222i?1i?1i?1n?1n?1n?1n?1 ?C?2?i?12?C?2(n?1)?
2故令C?12(n?1)?2??2，即此时??2是?2的无偏估计量. ，则有E? 7.3 参数的区间估计习题 1．解 n?25x,?1?9?,?1?.?90.05即05,，查标准正态分布表可得
2525u??u0.025?1.96. 从而 x?2?nu??19?2?1.9?618., 216x??nu??19?2?1.96?19.784，
故?的置信度为0.95的置信区间为（18.216，19.784）. 2.解 n?10,x?19s,?20??,1?0.05， 即0.?9?5,（1）查t(n?1)分布表可得t?(n?1)?t0.025(9)?2.2622.
2 2
从而 x?snt?(n?1)?1500202?10?2.2622?1485.69
x?st20n?2(n?1)?1500?10?2.2622?1514.31，
故?的置信度为0.95的置信区间为（1485.69，1514.31）.
（2）查表得?2(n?1)??222?0.025(9)?19.023，?1??(n?1)??0.975(9)?2.700.
22从而
(n?1)s29?2022?202?2?189.24，
(n?1)s?(n?1)?19.023?1)?92.700?1333.33，
2?21??(n2故?2的置信度为0.95的置信区间为（189.24，1333.33）.
3.解 n1?50,n2?80,x?y?3.1,1???0.99,即??0.01，u??u0.005?2.572从而 x?y?u?221?2?2n1?n2?3.1?2.57?252050?80?0.874 x?y?u?221?22520?2n1?n2?3.1?2.57?50?80?5.326，
故?1??2的置信度为0.99的置信区间为（0.874，5.326）.
x?15.012s524.解 由样本数据计算得 1,?0.0 945y?14.99,s22?0.0261又n1?8,n2?9,1???0.95，即??0.05， （1）查表得 F?(n1?1,n2?1)?F0.025(7,?8) 4.532F1??(n1?1,n2?1)?1/F?(n2?1,n1?1)?1/F0.025(8,7)?1/4.90?0.2041
22222从而
s1s2F0.799，
s1s22?(n21?1,n2?1)?F1??(n21?1,n2?1)?17.74
故方差比的置信度为0.95的置信区间为（0.799，17.74）.
（2）x?y?0.0225，??0.05，查表得t?(n1?n2?2)?t0.025(15)?2.1315，22有s2?(n1?1)s1?(n2?1)s22wn1?n2?2?0.0580. 从而
3
x?y?t?(n1?n2?2)sw1n?1n?0.0225?2.1315?0.0580?18?19??0.227212
x?y?t11?
2(n1?n2?2)swn1?n2?0.272，故?1??2的置信度为0.95的置信区间为（-0.227，0.272）。 5.解 （1）由于 t?X???t(n?1)Sn, 于是P???X???t????(n?1)??1?? ?Sn??即 P????X?St(n?1?)??1?. 此题中 ?n???n?10,1???0.95,x?576.4,s2?75.16,t0.05(9)?1.8331，故
x?st?1)?576?.475.1?61.?8331，5 71.37n?(n10即总体均值?的置信度为0.95的单侧置信下限为571.37. （2）由于 ?2?1n2?1)S2?2?(Xi?X)?(n(2n?1)
i?1?2??于是 ?(n?1)S2??2(n?1)???P???(n?1)S2?P???2????2n?1)??1?? ?????(??此题中 n?10,1???0.95,x?576.4,s2?75.16,?20.05(9)?16.919
2故标准差?的置信度为0.95的单侧置信上限为 (n?1S)?2?676.16.9?416?(n?1)9.32. 本章参数估计复习题
nnn?xi?xi?i?11.解 似然函数为 L(?2)??f(xe2?2i,?2)??1?1ne2?2，i?1i?12??(2??)nn?xi?xi取对数 lnL(?2)??nln(2??)?i?12?2??nln2??nln?2?i?12?2
4
n?xi令
d2d?2lnL(?)??n2?2?i?12??0，解得?2的极大似然估计值为
??2?1x2.
2.解 记X?n?min(X1,X2,...,Xn)，此时?的似然函数等价于
?n L(?)????xi?n??ei?1,??x?n ??0,??x?n所以只有当??x?n时，才有可能使L(?)取到最大值.
又L(?)对??x?是增函数，故当??x?n的?n取到其最大值.即
L(x?n)?m?axL(?)
?0所以?的极大似然估计值为 ???x?n?min(x1,x2,...,xn).
3.解 由于X?U[?,??1]，故总体的期望为EX?2??12，从而得到方程2???1?X, 解得 ???X?122.
所以?的矩估计量为 ???X?12.
又?E???E(X?12)?E(X)?112?E(X)?2??，
故???X?12是?的无偏估计量.
4.证明
?E??2?E[1n1nn?(Xi??)2]?i?1n?E(Xi??)2i?1n
?1(?EX2?2ni?2?EXi?)i?1n ?12n?(???2?2?2??2)??
2i?1故??2是?2
的无偏估计量。
5
5.解 ?22?0.108,n?9,x?4.484,1???0.95,即??0.05，
查标准正态分布表可得u??u0.025?1.96. 从而
2x??nu??4.484?20.10830.1083?1.96?4.41
x??nu??4.484?2?1.96?4.55，
故该厂铁水的平均含碳量的置信度为0.95的置信区间为（4.41，4.55）.
6.解 n1?n2?20,x?y??6,1???0.99,即??0.01， 查标准正态分布表可得u??u0.005?2.57. 从而
2x?y?u?x?y?u??122n1???2n22??6?2.57???6?2.57?0.05202??0.05202??6.04 ??5.96，
?122?2n22n10.052020.05202故?1??2的置信度为0.99的置信区间为（-6.04，-5.96）.
227.解 s1?0.5419,s2?0.6065,n1?n2?10,1???0.95，即??0.05，查表得
F?(n1?1,n2?1)?F0.025(9,9)?4.03
2F1??(n1?1,n2?1)?1/F?(n2?1,n1?1)?1/F0.025(9,9)?1/4.03
22从而
s1s2222F?(n1?1,n2?1)?0.222，
s1s2222F1??(n1?1,n2?1)?3.601
故方差比的置信度为0.95的置信区间为（0.222，3.601）.
6