武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称 线性代数A 题号 一 题分 15 专业班级全校各有关专业 七 八 九 十 总分 100 二 15 三 40 四 10 五 10 六 10 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、单项选择题（每题3分，共15分） 1、已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=( ) A.-15 B.15 C.0 D.1 2、设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ ） A．当m?n时，必有行列式AB?0；B．当m?n时，必有行列式AB?0 C．当m?n时，必有行列式AB?0；D．当m?n时，必有行列式AB?0 3、设?1,?2,?3为R3的一个基，则下列仍为R3的一个基的是（ ） A.?1??2??3,?2?2,??1??2??3 B. ?1??2,?2??3,?1??3 C. ?1??2,?2??3,2?1?2?3 D. ?1??3,?1??2,2?1??2??3 4、对非齐次方程组Am?nx?b，设R(A)?r，则( ) A.r?m时，方程组Ax?b有解； B. r?n时，方程组Ax?b有唯一解 C.m?n时，方程组Ax?b有唯一解； D. r?n时，方程组Ax?b有无穷多解 5、下列命题中不正确的是( ) A.合同矩阵的秩必相等 B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵 C.AAT与ATA都是二次型的矩阵 D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵 二、填空题（每题3分，共15分） ?1??0???1??2?????????1、设?1??1?,?2??1?,?3??2?为R3的一个基，则???0?在该基下的坐标为 。 ?0??1??1??0????????? 2、设A??2?1??4??3?11?66?1?22?91??1?，则R(A)?_____． ?2??7?3、若二次型f?x12?2x22?tx32?2x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，则t? 。 4、若?1?2?3?3,?4?2?1?2,则?1??3??4?1?2? 。 ?15、设A是n阶矩阵，A?2，A*是A的伴随矩阵．若A有特征值?，则?2A*?个特征值是 ． 三、解答题。（每题8分，共40分） 10010?0001?0??????000?1必有一?1?2?3?1、求0?0 （8分） ?n0?1?2?3?n?1?2、求矩阵方程AX?B，其中A??3?1?2?2?13??0??1,B?0???1?1???0101??0 。 （8分） ?0??3、设?1?(1?k,1,1),?2?(1,1?k,1),?3?(1,1,1?k),及??(0,k,k2),试求：当k为何值时?可由?1,?2,?3线性表出，并且表示法唯一。（8分） ??2?4、求A??0??4?1211??（8分） 0的特征值和特征向量。?3??5、设A为3阶矩阵，A? 12，求(2A)?1?5A?。（8分）
四、当a、b为何值时，线性方程组
?x1?x2?x3?x4?0??x2?2x3?2x4?1 ??x?a?3x?2x?b??324??3x?2x?x?ax??1234?1有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．（10分）
?2五、设矩阵A与B相似，其中A??0??0?0010??2??1,B?0????0x??0100??0， ??1??①求x; ②求正交阵P，使得PTAP?B.（10分）
六、证明题。（每题5分，共10分）
1、设A是n阶矩阵，如果存在正整数k，使得Ak?O（O为n阶零矩阵）， 则矩阵A的特征
值全为0．
2、设向量组?1,?2,?,?r是齐次方程组AX?0的一个基础解系，向量?不是方程组AX?0的
解，求证：?,???1,?,???r线性无关。
武汉理工大学教务处
试题标准答案及评分标准用纸
课程名称：线性代数A （ A 卷） 一、选择题（每题3分，共15分） 1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题（每题3分，共15分）
1、1，1，-1 2、3 3、2 4、1 5、?4
三、解答题（每题8分，共40分）
100?0?101010?0?012001?0?003r??r??r?...??????????n1?1?22???nrn??? 1．
000?1?00n?1?2?3??n000n????i?i(8分)i?1?123100??123102.解：??3?21010??????8?8?31?1?1?1001??0???0?3?4?10??123100??12310??????01138?180?????01138?18??0?3?4?101?????00?118?38??12011?8?93????1003188?8???0101??2?11?112????010 ???2?2??001?13?1??8???001?138??880?00?01?0???0?10?00?0??1???0??0??(3分)?1??1???1??(5分)??1????1?2?3??n n???i?ii?15分）（
?1?1? ??3?1?2?2?13??1??1???3?8?1???2???1??8??1812??181238?1??1?(6分) ???1??? 故
??1???1X?AB?1????1??383?8??1?? （8分） ?2?1???8??1?(解法2)：3??1??1???0??0???1???0???0??21?32?2?131?400131?10?0010101??1??0?0???00???2100102?8?331?1001113?8?40010010????183818120101???3??1???1??3?(3分)?8?1?8?1809812??11???3???0?8???1???0?11??1??8??1???0?2???1??0???8??21000131?1??383?8??1?2??1???8??1383?8??1?(6分)?2?1? ??8?故
??1??1X?????1????1812 （8分）
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