?1?k?3．?1?1?11?k1?10???1k???02?01?kk???11k01?k?k?3k?k2??1??k(1?k)???023?0k?2k?k???k21k0?? ?kk(1?k)?，（4分）
2?k(k?3)k(1?2k?k)??1?kk2当k?0且k??3时?可由?1,?2,?3线性表出，并且表示法唯一。 （8分） 4．解:
??2?1?1?I?A?0??20?(??1)(??2)2
4?1??3解得特征值?1??1,?2??3?2。 ?1?解齐次线性方程组(?E?A)X?0得基础解系为???1??0??
?1???c1?故对应于?1的特征值为：c?0?1??1?1???其中c1?0 ??c?1?解齐次线性方程组(2E?A)X?0得基础解系为： ?1??1??4??????2?1?4,????3??0? ??0????1??????故对应于?2??3?2的特征值向量为：
?1?(c2?c?3)?c?4?2?2?c3?3??c2?其中c2,c3不全0。 ??c3????5．解：因为A?1?1A|A*， |所以 |(2A)?1?5A*|?|1A?1?5|A|A?1|?|1A?1?5A?1| 222 （3分） （5分）
（7分）
（8分）
（2分）
（5分）
?|?2A?1|?(?2)3|A?1|??8|A|?1??8?2??16? （8分） 四、解： 将方程组的增广矩阵A用初等行变换化为阶梯矩阵：
?1?0 A??1112120??1??10???1112120??1? （3分） ?0?1a?3?2b??00a?10b?1???321a?1????000a?10??所以，⑴ 当a?1时，r?A??r?A??4，此时线性方程组有唯一解．
⑵ 当a?1，b??1时，r?A??2，r?A??3，此时线性方程组无解．
⑶ 当a?1，b??1时，r?A??r?A??2，此时线性方程组有无穷多组解． 此时，原线性方程组化为
?x?1?x2?x3?x4?0?x2?2x3?2x 4?1因此，原线性方程组的通解为
?x?x?13?x4?1?x??2x?23?2x4?1
?x3?x3??x4?x4或者写为
?x1??1??1???1???????? ?x???2???2??1?2??x?k1?k2? ?3??1??0??0??x??3??0????1????0??五、解：因A与B 相似，故有 2?1?(?1)?2?0?x
解得x?0.（2分）
A的特征根为?1??1,?2?1,?3?2.（3
分）
解齐次线性方程组??E?A?X?0，得
（6分） （10分） ????0????对应于?1??1的特征向量为P1*??1?，将它单位化得P1????1?????????0??1??.（5分） 2?1??2??0???对应于?2?1的特征向量为P2*??1??1??????0????1?，将它单位化得P2?? ?. （7分）2???1????2??1???对应于?3?2的特征向量为P3*?P3??0?. （9分）
?0???令P??P3,P2,P1?，则P??P3,P2,P即为所求正交矩阵. （10分） 1?
六．1、设?是矩阵A的特征值，α?0是矩阵A的属于?的特征向量，则有
Aα??α．
所以，Aα?Akk?1 ?Aα??Ak?1?α????kα ， （3分）
k但是A?O，所以?kα?0，但α?0，所以??0． （5分）
2、假设?,???1,?,???r线性有关，则存在不全为零的?0,?1,?,?r使得
?0???1(???1)???r(???r)?0，
于是?(?0??1????r)?=?1?1???r?r， （2分） 又由于?1,?2,?,?r的线性无关性知?(?0??1????r)?0，于是 （4分） ???1?0??1????r（?1?1???r?r），这与已知向量?不是方程组AX?0的解矛盾。（5分）