2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。） （1）limarctanx?x?________。
x?0ln(1?2x3) 【分析】本题为未定式求极限，结合等价无穷小代换和罗必达法则进行计算即可。
1?12arctaxn?xarcxt?anxx?lim?l1i?m? 【详解】lim33x?0ln(?x?01x2)x?0x2x26（2）设函数y?y(x)由方程2xy?x?y所确定，则dyx?0?2xlim?? x?0x26?(1x2)16?_________。
【分析】本题考查隐函数微分法，可用微分形式不变性完成。 【详解】已知等式两端微分得
2xyln2(ydx?xdy)?dx?dy 由原方程知：x?0时，y?1，代入上式得 ln2dx?dx?dy从而dyx?0x?0
?(ln2?1)dx。
评注：一般来说求隐函数在一点的导数或微分，应先将x?x0代入方程，确定出对应的y?y0后，再将点(x0,y0)的坐标代入所求导数或微分的表达式。 （3）
???2dx?___________。
(x?7)x?2 【分析】本题既是无界函数的反常积分又是无穷区间上的反常积分。 【详解】
???2x?2?t??2dtb2dtdx ???lim?09?t209?t2b???(x?7)x?2 ?2tlimarctan3b???3b0??3
评注：反常积分与定积分有一些相似的地方也有区别，它们都可以作变量代换和分部积分，但对反常积分作加减运算时，要十分小心，有时不成立。 （4）曲线y?(2x?1)e的斜渐近线方程____________。 【分析】考查渐近线的概念与求法。直接 代入公式计算系数。
1xy2x?11ex?2， 【详解】由于a?lim?limx???xx???x
1
y?ax)? b?lim(x???x???lim(x(?2e1?)1x1xx?2)x???lixme[?2(? e1)1x1x]2e(? ?limxx????1)?11lxim??2? 1x???x1y2x?11ex?2， 同理 a?lim?limx???xx???xy?ax)? b?lim(x???x???lim(x(?2e1?)1x1xx?2)x???lixme[?2(? e1)1x1x]2e(? ?limxx????1)?11lxim??2? 1x???x1综上，斜渐近线为y?2x?1。
00?1??230（5）设A???0?45?0?6?0。 (E?B)?1?_____0??0?，E为四阶单位矩阵，且B?(E?A)?1(E?A)，则?0?7? 【分析】本题考查矩阵的运算。已知矩阵等式求逆，总是先从已知等式中分解出左端含
有待求逆的矩阵作为因子，而右端为单位矩阵的情况，这样相应的逆阵即可写出。 【详解】由B?(E?A)(E?A)，有(E?A)B?(E?A)，即
?12，E (A?E)(B?E)?2，亦即E AB?A?B?E?1(A?E)(B?E)?E 2?100??1201?1故(E?B)?(A?E)???0?232??00?30?0?? 0??4?二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，将所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)?x在(??,??)内连续，且limf(x)?0，则常数a,b满足 bxx???a?e（A）a?0,b?0 （B）a?0,b?0 （C）a?0,b?0 （D）a?0,b?0
【分析】根据f(x)的连续性和limf(x)?0确定系数。
x???【详解】由题设函数f(x)?x在(??,??)内连续，因此对任意的x?(??,??)，
a?ebx 2
有a?ebxbx?0，这只需要a?0即可；另外limf(x)?0知，lim(a?e)??，所以b?0。
x???x??? 故应选（D）
（2）设函数f(x)满足关系式f??(x)?[f?(x)]2?x，且f?(0)?0，则
（A）f(0)是f(x)的极大值 （B）f(0)是f(x)的极大小值 （C）点(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
（D）f(0)不是f(x)的极值，点(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点。
【分析】由f?(0)?0知x?0是函数f(x)的一个驻点；由关系式知f??(0)?0，即
(0,f(0))可能是拐点。如何判断？或者分别考察f?(x),f??(x)在x?0的左右两侧附近是否
变号，这本题难以做到，于是求f(x)在f(x)的更高阶导数来讨论。
【详解】因为f?(0)?0，由原关系式f??(x)?[f?(x)]2?x可知f??(0)?0，因此
(0,f(0))可能是拐点。
由f??(x)?x?[f?(x)]2知f(x)存在三阶导数，且f???(x)?1?2f?(x)f??(x)。可见
f???(0)?1，从而f(0)不是f(x)的极值，而点(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点。故应选
（C）。
评注：如果f(x)在x?x0处有三阶连续导数，而f?(x0)?f??(x0)?0，但f???(x0)?0则f(x0)不是f(x)的极值，而点(x0,f(x0))是曲线y?f(x)的拐点。 （3）设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有
(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (C) f(x)g(x)?f(b)g(b)
(B) f(x)g(a)?f(a)g(x) (D) f(x)g(x)?f(a)g(a)
【分析】本题既可以用单调性来推出结论，也可以利用定积分保号性定理得到结论。 【详解】法一：由于f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，所以
(f(x)f?(x)g(x)?g?(x)f(x))???0 2g(x)g(x) 3
从而函数
f(x)f(b)f(x)f(a)在[a,b]上单减，因此当a?x?b时,有 ??g(x)g(b)g(x)g(a)因此应选（A）；
法二：由于f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，所以的可得：a?x?b时
f?(x)g?(x)，由积分保号性定理?f(x)g(x)?xaxg?(x)f?(x)dx??dx，
ag(x)f(x)?bxbg?(x)f?(x)f(x)g(x)f(b)g(b)，。 dx??dx即??xg(x)f(x)f(a)g(a)f(x)g(x) 因此应选（A）。 （4）若limsin6x?xf(x)6?f(x)?0lim，则为
x?0x?0x3x2（A）0 （B）6 （C）36 （D）? 【分析】本题是已知某函数的极限，求另一相关函数的极限，基本方法有：无穷小量的等价代换、极限与无穷小的关系、洛必达法则和泰勒展开。其中用洛必达法则时，应注意分子分母求导以后的极限必须存在，本题f(x)未知是否可导，不能用洛必达法则。泰勒展开的阶数一般可由分母的幂次来确定，本题可将sin6x展开到三阶。
sin6x?xf(x)?0，所以由极限和无穷小的关系可得
x?0x3sin6x?xf(x)?0??，其中lim??0 3x?0x6?f(x)6sin6x????从而 x2x2x36?f(x)6sin6x?lim(???3) 因此limx?0x?0x2x2x6x?sin6x6?6cos6x?lim?36 ?lim32x?0x?0x3xsin6x?xf(x)sin6x?6x?6x?xf(x)?lim 法二：因为0?lim 33x?0x?0xxsin6x?6x6?f(x)?] ?lim[x?0x3x26?f(x)6x?sin6x6?6cos6x?lim?lim?36 所以lim232x?0x?0x?0xx3x【详解】法一：由于lim(6x)3?o(x3)，所以 法三：因为sin6x?6x?3!sin6x?xf(x)6x?36x3?o(x3)?xf(x)?lim lim 33x?0x?0xx ?lim(x?06?f(x)?36) 2x4
可见：lim6?f(x)?36
x?0x2评注：典型错误：不考虑f(x)是否满足条件而使用洛比达法则，结果花费了不少时间还不能得出正确的结论．其次按如下方法做 因为x?0时，sin6x?6x，从而 lim所以limsin6x?xf(x)6x?xf(x)6?f(x)?lim?lim 332x?0x?0x?0xxx6?f(x)?0． x?0x2 在这里用6x代换sin6x是错误的，因为利用等价无穷小代换求极限，所代换的部分要求是分子或分母中的乘积因式 （5）具有特解y1?e?x,y2?2xe?x,y3?3ex的3阶常系数齐次线性线性微分方程是 （A）y????y???y??y?0 （B）y????y???y??y?0 （C）y????6y???11y??6y?0 （D）y????2y???y??2y?0
【分析】本题考查特征根与通解的对应关系。利用已知特解导出微分方程通解，从而得到特征根，推出特征方程，进而写出微分方程。
【详解】因为特解y1?e?x,y2?2xe?x,y3?3ex，从而方程通解为 Y?(C1?C2x)e?x?C3ex 从而对应特征方程的根为?1??2??1，?3?1
2于是特征方程为：(??1)(??1)?0，即??????1?0
32故所求微分方程为：y????y???y??y?0。所以应选（B）
评注：利用特解求微分方程，关键要掌握特征根与对应特解之间的关系，包括实单根、重根和复数根的情况下的对应特解的形式。 三、（本题满分5分）
设f(lnx)?ln(1?x)，计算?f(x)dx x【分析】本题关键是求出f(x)的表达式，然后根据被积函数的形式利用分部积分法得到答案。
ln(1?x)ln(1?et)【详解】由于f(lnx)?，令lnx?t，则f(t)?。从而
xet?
ln(1?ex)x?xf(x)dx??dx??ln(1?e)de x?e5