dx1e?)???e?x ??eln(?x1?e?xx1?ex?exln?(e1??)dx
1?exx ??e?xln(1?ex)?x?ln(1?ex四、（本题满分5分）
?)C(t?0)若 设xoy平面上有正方形D?(x,y)0?x?1,0?y?1及直线l:x?y?tS(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求?S(t)dt(x?0)．
0x??【分析】考查建立函数关系式及分段函数定积分的计算。首先写出S(t)的表达式，然后利用分段函数定积分的解法计算定积分。
【详解】根据题设有
?12?2t,0?t?1??12 S(t)???t?2t?1,1?t?2
?2?1,t?2??121tdt?x3；
0026x11x1213122当1?x?2时， ?S(t)dt??tdt??(?t?2t?1)dt??x?x?x?；
0021263可见，当0?x?1时，?S(t)dt??xx当x?2时，
?x0S(t)dt??S(t)dt??S(t)dt?x?1．
022x?13?6x,0?x?1?x1?132因此?S(t)dt???x?x?x?,1?x?2．
03?6?x?1,x?2??评注：分段函数的定积分，应根据不同区间上函数的表达式，利用积分的可加性分段进行积分。 五、（本题满分5分） 求函数f(x)?xln(1?x)在x?0处的n阶导数f2(n)(0)(n?3)．
【分析】求函数f(x)在x?x0的n阶导数，通常可考虑将函数f(x)在x?x0展开成泰勒公式，再通过比较系数得到所求。本题f(x)是两个函数的乘积，且其中一个因式是x，其三阶及三阶以上的导数都为零，因此也可通过莱布尼兹公式计算。
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2 【详解】法一：将f(x)展开成麦克劳林公式（x?0处的泰勒展开式）
nx2n?1xf(x)?xln(1?x)?x(x????(?1)?o(xn)) 2n22n?2x4n?1x???(?1)?o(xn?2)) ?(x?2n3从而f(n)(0)?n![(?1)n?31]. n?2法二：f(n)(x)?[x2ln(1?x)](n)
012 ?Cn[ln(1?x)](n)?x2?Cn[ln(1?x)](n?1)?2x?Cn[ln(1?x)](n?2)?2
从而f(n)(0)?2C[ln(1?x)]2n(n?2)x?0(?1)n?3(n?3)!?2C(1?x)n?22nx?0?(?1)n?3n!
(n?2)六、（本题满分6分） 设函数S(x)??x0costdt，
（1）当n为正整数，且n??x?(n?1)?时，证明2n?S(x)?2(n?1)； （2）求极限limS(x)
x???x【分析】本题的（1）是（2）的台阶。（1）的证明，主要利用被积函数cosx的周期性——每个周期上积分值相等；利用（1）的不等式和夹逼准则可求得（2）
【详解】（1）由于被积函数cosx总是大于等于零，从而当n为正整数，且
n??x?(n?1)?时，恒有
而
?n?0costdt?S(x?)??x0cost?d?t?(?n1?)0co stdt2n?n?0costdt?n???0costd?t?n[20cos?tdt???2cost?d t]?(n?1)??200costdt?(n?1)?costdt?(n?1)[?costdt????costdt]?2(n?1)
02?所以2n?S(x)?2(n?1)
（2）法一：由（1）可得n??x?(n?1)?时
2n2nS(x)2(n?1)2(n?1)????
(n?1)?xxxn? 7
从而由夹逼准则可得limS(x)2?
x???x?
法二：对充分大的x，总存在自然数n，使得x?n???(x)，其中0??(x)??
S(x)?从而lim?lim0x???n???x ?limn?costdt??n???(x)n?costdtn???(x)??(x)00
n?costdt??costdtn???n???(x)?2?
七、（本题满分7分）
某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内的含污染物A的污水量为的水量为
V，流入湖泊内不含A6VV，流出湖泊的水量为。已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定63m指标，为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过0。问至
V多需经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才可降至m0以内？（注：设湖水中A 的浓度是均匀的）
【分析】设m(t)是2000年后第t年湖泊中污染物A的含量，此时浓度内排入湖泊中的污染物A的量的近似值为
m。在[t,t?dt]Vm0V?dt，排出污染物A的量的近似值为V6mmmV?dt，因此m(t)增量的近似值为dm?(0?)dt，从而可转化为微分方程进行求解。 V363【详解】设从2000年初（t?0）开始，第t年湖泊中污染物A的含量为m(t)，此时湖
m，则在时间间隔[t,t?dt]内，排入湖泊水的污染物A的量的近似值VmVmmVm为0?dt?0dt，流出湖泊的水中A的量的近似值为?dt?dt，因此m(t)增量V66V33水含A物质的浓度为的线性主部——微分
dm?(m0m?)dt 63t?m03?Ce 这是变量可分离的一阶微分方程，解得通解为m?2t?m09(1?9e3)。 代入初始条件m(0)?5m0，得 C??m0。于是m?22令m?m0得t?6ln3。
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即至多需经过6ln3年，湖泊中污染物A 的含量才可降至m0以内。
评注：建微分方程主要由两种方法：其一，根据问题所服从的规律（定理、定律、关系式或几何关系）建立方程；其二，通过微元法，即分析自变量的一个典型小区间上，未知函数增量的线性主部——微分，建立微分方程。 八、（本题满分6分）
设函数f(x)在[0,?]上连续,且
??0f(x)dx?0，?f(x)cosxdx?0试证:在(0,?)内
0?至少存在两个不同的点?1,?2使f(?1)?f(?2)?0。
【分析】至少存在两个不同的点?1,?2使某等式成立，一般应考虑在[0,c]与[c,?]上分别使用拉格朗日中值定理。为了使用拉格朗日中值定理得到结论（出现导数），可考虑对函数F(x)??x0f(t)dt使用定理；关键是(0,?)内c点的确定，可通过已知条件由分部积分法
x和积分中值定理得到。
【详解】令F(x)?又因为
??0f(t)dt，由于?f(x)dx?0，则F(0)?F(?)?0。
0???0f(x)cosxdx?0，所以
?0??F?(x)cosxdx??cosxdF(x)???F(x)sinxdx00?分中值定理0??F(c)sinc,(0?c?0)
从而F(c)?0,(0?c??)
对F(x)分别在[0,c]与[c,?]上使用罗尔定理可得：存在?1?(0,c)，?2?(c,?)使得
F?(?1)?0，F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0。
评注：⑴ 积分中值定理可改为：“若f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点?，使得?ba（利用拉格朗日中值定理可推出）； f(x)dx?f(?)(b?a)”⑵ 要证的结论与某函数在一点的函数值f(?)有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理； ⑶要证的结论与某函数在一点的导数值f?(?)（或更高阶导数值）有关，则应考虑用微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理）。 九、（本题满分7分）
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x?0的某邻域内满足关系式 f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)
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其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x?1处可导，求曲线y?f(x)在点
(6,f(6))处的切线方程．
【分析】本题考查函数的周期性、连续性、极限、导数定义及求切线方程等内容．求点(6,f(6))处的切线方程，关键是求出f?(6)，而根据f(x)是周期为5的连续函数，问题转化为求f?(1)，这恰好可通过已知关系式得到。
【详解】已知关系式两边取极限x?0得： f(1)?3f(1)?0，故f(1)?0 由于 f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)
f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x?0
x?0xf(1?sinx)?3f(1?sinx)?8 即 limx?0sinx令 sinx?t，可得：
f(1?t)?3f(1?t)[f(1?t)?f(1)]?3[f(1?t)?f(1)]?lim 8?lim
t?0t?0tt[f(1?t)?f(1)][f(1?t)?f(1)]?3lim?4f?(1) ?limt?0t?0t?t所以 lim所以f?(1)?2．
由周期性知 f(6)?f(1)?0,f?(6)?f?(1)?2．
因此曲线y?f(x)在点(6,f(6))处的切线方程为 y?2(x?6．)
评注：由于题中函数f(x)是抽象函数，仅知在x?1处可导，所以只能用导数定义求f?(1)，而不能用其它方法，大多错误就出现在此处． 十、（本题满分8分）
设曲线y?ax(a?0,x?0)与y?1?x交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax为成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所的旋转体体积最大？最大体积是多少？
【分析】本题是综合应用题。应先求出交点A的坐标，再导出旋转体的体积，它是参数a的函数，求此函数最值即可。
2?1a?y?axx?,y?【详解】当x?0时，由?解得，故直线OA的方程为 21?a1?a??y?1?x222 10