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A．[?1,] B．[0,] C．[1,] D．[?2,]
3333222210．设F1、F2是离心率为5的双曲线xa22?yb22?1(a?0,b?0)的左、右两个焦点，若双
??????????????曲线右支上存在一点P，使(OP?OF2)?F2P?0（O为坐标原点）且|PF1|??|PF2|则
?的值为（ A ）
23二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分．
A. 2 B.
1 C. 3 D.
1
?ex,x?0.1111. 设g(x)??则g(g())?__________．
22?lnx,x?0.12. 已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b值
为16，则循环体的判断框内①处应填 .3 13．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若?表示取到次品的个数，则E(?)? ．
x234
x214.已知双曲线
m?y2n?1(m?0,n?0)的离心率为
5?12，则椭圆
m?y2n?1的离心率
为 ．
5?12 15．任取集合{1,2,3,?,10}中的三个不同数a1,a2,a3，且满足a2?a1?2,a3?a2?3，则选取这样的三个数方法种数共有 .（用数字作答）35 16．已知点P是不等式组??y?x?1,?2x?y?3?0,所表示的可行域内的一动点，则点P到抛物线
x?4y的焦点F的距离的最小值是 .2
317．若函数f(x)?x?3x，若对于区间[?3,2]上的任意的x1,x2，都有|f(x1)?f(x2)|?t，
2则t的取值范围是___ ____． t?20
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．设f?x??cosx?asinx?cosx??cos2?
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
（2）设?ABC三内角A,B,C所对边分别为a,b,c，且
a?c?ba?b?c222222???????x?(a为常数)，满足f????f?0?.?2??3?c2a?c?，求f(x)在
?0,B?上的值域．
22解：(1)f(x)?asinxcosx?cosx?sinx?a2sin2x?cos2x.
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由f(??3)?f(0)得?因此f(x)? 令??23a1????1,解得a?23. 222?3sin2x?cos2x?2sin(2x?).
6?2k??2x??6??2?2k?,k?Z得??6?k??x??3?k?,k?Z
故函数f(x)的单调递增区间?????6??k?,???k??(k?Z) 3??ccosBbcosC?c2a?c（2）由余弦定理知：
aa22?c?b22?b?c222accosB2abcosC
即2acosB?ccosB?bcosC，
又由正弦定理知：2sinAcosB?sinCcosB?sinBcosC?sin?B?C??sinA 即cosB?12,所以B??3，当x??0,?????????时，2x????,，f?x????1,2?
?3?662???19．设数列?an?的前项和为Sn，且2an?Sn?2n?1(n?N?). （1）求证：数列?an?2?是等比数列； （2）求数列?n?an?的前项和Tn.
解：（1）由题意，当n?1时，得2a1?a1?3，解得a1?3 因为2an?Sn?2n?1，所以有2an?1?Sn?1?2n?3成立.
两式相减得：2an?1?2an?an?1?2. 所以an?1?2an?2(n?N?)，
即an?1?2?2(an?2). 所以数列?an?2?是以a1?2?5为首项，公比为的等比数
列.
n?1n?1? （2）由(1) 得：an?2?5?2，即an?5?2?2(n?N).
n?1?则nan?5n?2?2n(n?N)，设数列?5n?2n?1?的前项和为Pn,
012n?2n?1?5?n?2， 则Pn?5?1?2?5?2?2?5?3?2?...?5?(n?1)?2123n?1n 所以2Pn?5?1?2?5?2?2?5?3?2?...?5(n?1)?2?5n?2，
12n?1nn? 所以?Pn?5(1?2?2?...?2)?5n?2，即Pn?(5n?5)?2?5(n?N).
所以数列?n?an?的前项和Tn=(5n?5)?2?5?2?nn(n?1)2，
n2? 整理得，Tn?(5n?5)?2?n?n?5(n?N).
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20．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，
且AB?AC?A1B?2． （1）求证：A1C1?平面ABA1B1 （2）求棱AA1与BC所成的角的大小；
x C1
P A1 z
（3）在线段B1C1上确定一点P，使AP?14，
并求出二面角P?AB?A1的平面角的余弦值．
解：(1) 证明：略
（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C?2，，00?，B?0，，20?，A1?0，，22?，B1?0，，42?，
?????????????AA1??0，2，2?，BC?B1C1??2，?2，0?．
C y ????????????????AA?BCcos?AA1，BC??????1?????AA1?BC?48?8??12，故AA1与棱BC所成的角是
?3．
??????????2?，0?，则P?2?，4?2?，2?． （3）设B1P??B1C1??2?，于是AP?4???4?2???4?2214???12（??
32
舍去），
32?． 设平面P?AB?A则P为棱B1C1的中点，其坐标为P?1，，的法向量为1??n1??x,y,z?，
??????????x?3y?2z?0?n1?AP?0则??????, 即?，令z?1，故n1???2，0，1? ?2y?0???n1?AB?0????????而平面ABA1的法向量n2=（1,0,0），则cosn1,n2?????n1?n2225?????????
55n1n2故二面角P?AB?A1的平面角的余弦值是21．已知直线y??x?1与椭圆
xa22255．
?yb22?1(a?b?0)相交于A,B两点．
（1）若椭圆的离心率为
33，焦距为2，求线段AB的长；
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（2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e?[,2122]
时，求椭圆的长轴长的最大值． 解：（1）?e?33,2c?2,即c2?33 ?a?3,则b?a?c22?2
2?x2yxy??1?2∴椭圆的方程为??1 联立?3消去y得:5x?6x?3?0 232?y??x?1?22 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)?2265,x1x2??2352[1?(?1)](x1?x2)?4x1x2?2621283 ()??555
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)
?????????????????OA?OB?OA?OB?0,即x1x2?y1y2?0
2?x2y ?2?2?1222222由?a消去y得(a?b)x?2ax?a(1?b)?0b?y??x?1? 由??(?2a)?4a(a?b)(1?b)?0 整理得a?b22222222?1
又x1?x2?2a222a?bx1x2?a(1?b)a?b2222
?y1y2?(?x1?1)(?x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1?x1x2?y1y2?0得:2x1x2?(x1?x2)?1?0?2a(1?b)a?b2
2222?22a222a?b?1?0
整理得：a?b?2ab?0 ?b?a?c?a?ae代入上式得
2a222222222?1?11?e2?a2?12(1?11?e2)
?1243?e??11?e222?14??e?73?1?212?1122?1?e??3?762342
??21?e423?a?32
适合条件a?b?122 由此得
426?a?62??2a?6，故长轴长的最大值为6
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22．已知函数f(x)?x2?alnx在(1,2]是增函数，g(x)?x?ax(0,1)为减函数． （1）求a的值； （2）设函数?(x)?2bx?1x2是区间(0,1]上的增函数，且对于(0,1]内的任意两个变量
s,t，f(s)??(t)恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)?f?(x)?g(x)?2x?3，求证：[h(x)]n?2?h(xn)?2n(n?N?)
x解：（1）?f?(x)?2x?ax，依题意f?(x)?0, x?(1,2],?a?2x2,?a?2
又?g?(x)?1?a，依题意g?(x)?0,x?(0,1),?a?2x,?a?2?a?22x（2）?f?(x)?2x?22(x?1)(x?1)x?x
当x?(0,1)时,f?(x)?0，?f(x)为减函数，其最小值为1
令?(x)?2bx?1x2,则在(0,1)上??(x)?2b?2x3, ?函数?(x)?2bx?1x2在x?(0,1]为增函数,
??(x)?0在(0,1]恒成立.?b??1,又在(0,1]上?(x)的最大值为2b?1,
依题意?b??1?2b?1?,解得?1?b?1为所求范围.
?1 （3）?h(x)?f?(x)?g(x)?2x?323x?(x?2lnx)??x?2x?2x?x
?2x?2x?x?2x?2x?3x?x?1x
当n?1时[h(x)]n?2?x?1nn?x?1x?2,h(x)?2x?2等式成立. 当n?2时[h(x)]n?h(xn)?(x?1x)n?(xn?1xn)
?C0nxn?C1?1nxn?12x?Cnxn?2(121n1x)???Cn?(x)?(xnn?xn) ?C1n?1n?2nx?1(12n?11n?1x?C2nxx)???Cn?x?(x) ?C1n?2?C243n?6nxnxn??Cnx????Cn?11nxn?2
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?12[Cn(x1n?2?x)?Cn(xn?2n12n?4?nx)????Cn(xn?41231n?1n?2?1xn?2n?1)],(x?0),n由均值不等式得[h(x)]?h(x)?Cn?Cn?Cn????Cnnnn?[h(x)]?2?h(x)?2
?2?2
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