山东省实验中学2015级第一次模拟考试
数学试题(理科)
2018.04
说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第l页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上。书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．
第I卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题．每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的．)
21．设集合A?xy?log2?2?x?,B?xx?3x?2?0，则CAB=
????A．???，1? B．???，1? 2．在复平面内，复数
C．?2,???
D．?2,???
2?3i?z对应的点的坐标为?2,?2?，则z在复平面内对应的点位于 1?2iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设x?R，向量a??x,1?b?1,?2?,且a?b，则a?b? A．5
B．10
22
C．25 2 D．10
4．已知双曲线my?x?1?m?R?与抛物线x?8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A．y??1x 3 B．y??3x
C．y??3x
D．y??3x 35．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题： 松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n= A．2 C．4
B．3 D．5
6.已知f?x??log0.81,a?f?log?3?,b?flog43,c?f?30.1?，则 x??A. b?a?c B. a?b?c C. c?b?a D. c?a?b
7.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是 A.2
B. D.3
5
C. 22 8.将函数g?x??2cos?x????????（纵坐标cosx????的图象上各点的横坐标伸长原来的2倍
4?4??12x?h?x?，则f??x?的图象大致为 4不变）后得到h?x?的图象，设f?x??
3??1??39.如果?ax?x????的展开式中各项系数的和为16，则展开式中x项的系数为
4x??x??A.
639 2
B. ?39 2
C. ?21 2 D.
21 210.已知三棱锥P?ABC的各顶点都在同一球面上，且PA?平面ABC，若该棱锥的体积为
23,AB?2,AC?1,?BAC?60，则此球的表面积等于 3A. 5?
B. 20?
2
C. 8?
D. 16?
11.已知A,B是过抛物线y?2px?p?0?焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AB?3FB,S?OAB?A.
2AB，则AB的值为 3
C.4
D.2
9 2 B.
2 912.已知偶函数f?x?满足f?4?xx,???f4??且??f0，当?0时,，??04?xf?x??ln?x2?，2关于x的不等式f?x??af?x??0在??200，200?上有且只有200个整数x解，则实数a的取值范围 A. ??ln6,ln2?
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
?1?3??B. ??ln2,?ln6? C. ??ln2,?ln6? D. ??ln6,ln2?
33?????3??1??1??1??x?y?5?13.已知实数x,y满足约束条件?3x?2y?0,则z?3x?y的最小值为__________.
?x?2y?1?0?14.在平面区域
??x,y?0?x?2,0?y?4?内投入一点P，则点P的坐标?x,y?满足y?x22?，过B点作BD?AB交AC于点D，如果AB?CD?1，3的概率为____________. 15.在?ABC中，?ABC?则AD=____________. 16.已知函数f?x?????2asin???x????a?0,??0,???，直线y?a与f?x?的图象
2??的相邻两个交点的横坐标分别是2，4，现有如下命题： ①该函数在?2，4?上的值域是?a,2a?
??②在?2，4?上，函数在x?3处取得最大值 ③该函数的最小正周期可以是
8 3④函数f?x?的图象可能过原点 以上正确的命题的序号是____________.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：60分.
17.（本小题满分12分）已知数列?an?满足：a1?1a,an?1?n?n?N??. 32?an（I）令bn?1?1，求证：数列?bn?为等比数列并求数列?an?的通项公式； an（II）令cn?nan,Sn为数列?cn?的前n项和，求证：Sn?2.
18. （本小题满分12分）
在刚刚过去的济南市第一次模拟考试中，某班同学表现优异，成绩突出，现将全班50名同学的成绩按班内名次统计成如下的2×2列联表：
（I）完成列联表，若定义前20名的学生为优等生，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为该班“成绩是否优等与性别有关”？请说明理由.
n?ad?bc?2附：k??n?a?b?c?d?.
?a?b??c?d??a?c??b?d?
（II）优等生中的男生成绩在学校前100名的只有2人，现从这8人中抽取3人，记其中成绩在学校前100名的人数为?，求?的分布列及数学期望。
2
19. （本小题满分12分）已知四棱锥P?ABCD,PD?面ABCD且PD=2，?BCD是边长为23的正三角形，AB?AD,?BAD?120，M为PC上的点，且PM?（I）求证：PA//面MBD；
（II）求二面角M?BD?P的余弦值.
1PC. 4x2y2?2?1?2?b?0?的左，右焦点分别为F1、F2，20. （本小题满分12分）已知椭圆C:4b过焦点且垂直于长轴的弦长为1.过左焦点的直线l与椭圆交于A,B两点，M是AB的中点. （I）求椭圆的标准方程；若直线l不平行于坐标轴，证明：直线OM（O是坐标原点）与直线l的斜率之积为定值；
（II）D是椭圆上一点（A,D在x轴的同侧），且满足l//DF2，求四边形AF1F2D面积的最大值.
21. （本小题满分12分）已知函数f?x??e?ax?a?a?0?.
x（I）函数f?x?不存在零点，求实数a的范围；
（II）若f??x?为函数f?x?的导函数，对任意x1,x2?R?x1?x2?，试比较f???x1?x2??与2??f?x2??f?x1?的大小关系，并给出证明.
x2?x1
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中直线l的倾斜角45，且经过点P?1,?1?，以坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为??4cos?，直线l与曲线E相交于A,B两点.
（I）求直线l的一般方程和曲线E的标准方程； （II）求
11?的值. PAPB
23. [选修4-5，不等式选讲]（10分）
已知定义在R上的函数f?x??x?2m?xm?N，且f?x??4恒成立.
?（I）解关于x的不等式f?x??1?3x；
（II）若???0,1?.???0,1?.f????f????3，求证：?41???18.