第14章 量子物理
学习指导
一、基本要求
1．理解光电效应和康普顿效应的实验规律及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。能用爱因斯坦方程进行简单计算，理解光的波粒二象性及联系波粒二象性的基本公式。 2．理解氢原子光谱的实验规律及玻尔理论的基本假设。能用玻尔理论计算简单的氢原子光谱问题。
5．掌握德布罗意假设，了解电子衍射实验。理解实物粒子的波粒二象性。
6．理解波函数及其统计解释。理解一维坐标动量不确定关系。了解一维定态的薛定谔方程，以及薛定谔方程处理一维无限深势阱等微观物理问题的方法。
7．了解原子的电子壳层结构，以及原子中电子状态按四个量子数的分布规律。
二﹑知识框架 光 的量 子 性 量 子 物 理基 础 粒 子的 波 动性 1. 斯特藩-玻尔兹曼定律 : M=?T4 ?=5.67051?10?8W?m-2?k-4 2.维恩位移定律：T?m=b, b=2.897?10-3m?k 3.普朗克量子化 谐振子的能量?=nh?, n=1,2,3,?, 黑体辐射 光电效应
12光电效应方程mvmax=h??W；红限频率?0=Wh 2光的波粒二相性 每个光子的能量?=h??mc2 每个光子的动量p?mc?h?c?h? 康普顿散射—用光子和电子的碰撞解释。 2h?h散射公式??????0=sin2；?c??2.426?10?3nm m0c2m0c?c称为电子的康普顿波长。 德布罗意假设—粒子的能量?和动量p与跟它相联系的波的频率?和波长?c的 定量关系与光子的一样，即有?=h??mc2 ，p?mc?h?c?h?
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不确定关系—是粒子波粒二相性的反映。 h位置、动量不确定关系?x?px? 2三、重点和难点
1. 重点
（1）德布罗意假设，实物粒子的波粒二象性。 （2）波函数及其统计解释，一维定态的薛定谔方程。
（3）原子的电子壳层结构，以及原子中电子状态按四个量子数的分布规律。 2. 难点
波函数及其统计解释；坐标动量不确定关系。 四．基本概念和规律
1.黑体辐射定律及普朗克量子假设。
热辐射 一切物体在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，叫热辐射。
单色辐出度 在物体温度为T时，从物体表面单位面积上，单位时间内，在波长?附近单位波长范围内所辐射的电磁波能量。即 M?(T)?dE
dt?ds?d?辐出度 单位时间内从物体表面积上所发出的各种波长的总辐射能。
? M(T)?M?(?,T)d?
0?黑体辐射 黑体是一种理想模型，是指能够全部吸收各种波长的电磁辐射而不发生反射和透射的物体。在黑体辐射规律问题上经典物理遇到困难，促使了量子理论的诞生。
（1）黑体辐射的实验定律 ① 斯特藩-玻耳兹曼定律
?M(T)??M0?(?,T)d???T4，??5.67?10?8W?m?2?K?4
0 ② 维恩位移定律
T?m?b b?2.897?10?3m?K
（2）普朗克公式
普朗克公式即绝对黑体单色辐出度表达式
M0?(?,T)? （3）普朗克的量子假设
2?hC21ehc?kT?5
?1辐射黑体的分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子的能量只可能取某些分立的数值，黑体发射和吸收能量是某一最小能量?的整数倍。这个最小能量为??h?。
2.光电效应和光的波粒二象性 （1）光电效应的实验规律
①当以一定频率和强度的单色光照射金属表面时，单位时间内，从金属表面逸出的光电
子数与入射光强成正比。
②光电子从金属表面逸出时具有一定的动能。最大初动能等于电子的电荷量和遏止电势
差的乘积，与入射光强无关。
③光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于?0时，不管照射光的强度多大，也不会发生光电效应。
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④光照射到金属表面与光电子从金属表面逸出之间的时间间隔不超过10s，可以认为两者几乎是同时发生的，即光电效应具有瞬时性。
（2）光子 爱因斯坦光电效应方程 为了解释光电效应，1905年爱因斯坦在普朗克能量子假设的基础上提出了光子假设。爱因斯坦认为光在空间传播时，也具有粒子性，想象一束光是一束以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子或简称光子。对于频率为?的光束，每个光子的能量为：??h?
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12mvm?W （W为逸出功） 2W红限 ?0?
h12遏止电压 eUa?mvm
2爱因斯坦光电效应方程： h??（3）光的波粒二象性
光子的能量 ??Pc?h? 光子的动量 P?h?
光子的动量和能量是描述粒子性的，而频率和波长是描述波动性的，光的双重性质通过以上公式达到完美统一。
3．康普顿效应
1922年康普顿在研究X射线通过石墨这些物质而产生的散射现象时，发现了光的经典理论完全不能解释的实验结果。只有把光束当作由大量以光速运动的光子组成，才能予以解释。光的量子性或微粒性，特别是光子具有能量、质量、动量，光与物质发生作用时上述各量的守恒性在康普顿效应中明显的表示出来，从而加深了我们对光子的认识。
单色X射线被物质散射后，散射光中除了有波长与入射光相同的成分外，还有波长较大的成分，这种波长变长的现象叫康普顿效应。
康普顿公式 ??????0?h(1?cos?)?2hsin2?
m0Cm0C2式中?为衍射角，?c?h?2.43?10?12m叫做电子的康普顿波长。 m0c4．氢原子光谱 玻尔的氢原子理论 （1）氢原子光谱
氢原子发出的各种谱系的谱线波数为
????11??R?2?2?,k?1,2,3,???;n?k?1,k?2,k?3,??? ?n??k1其中R为里德伯常数， k取1，2，3，4，5，6分别对应于莱曼系，巴耳末系，帕邢系，布拉开系，普丰德系和哈弗系。
（2）玻尔的氢原子理论 为了克服经典理论所遇到的困难，玻尔于1913年提出了一个能够解释氢原子特征光谱的氢原子模型。氢原子的玻耳理论主要概括为以下三条基本假设：
①定态假设 原子系统的能量是稳定的，具有一系列分立的不连续的特定值E1，E2，
E3……。这种特定的能量值叫能级，相应的稳定运动状态叫定态。
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②频率条件
当原子从能级为En的定态跃迁到另一个能量为Em的定态时，就要发射或吸收一频率为?的光子。
??En?Em h③量子化条件
原子中电子以速率v绕核作半径为r的圆周运动，它的角动量只能取某些特定的分立值。
L?n式中n为正整数，叫量子数。
（3）玻尔理论的几个公式
h n=1,2,3…… 2???0h2?2①氢原子中电子的轨道半径 rn?n??nr1 n=1,2,3,…… 2???me?22?h0式中n叫主量子数。n=1时，r1??0.053nm，r1称为玻尔半径。 ?me2②氢原子的能级公式
E1 n?1,2,3, …… me4En??222??28?0hnn式中式中n叫主量子数。n=1时，原子处于基态，n>1时原子处于激发态。
5．粒子的波粒二象性
（1）德布罗意波 1924年年轻的博士研究生德布罗意在光的二象性的启发下，根据对光的性质的认识，提出了与光的二象性完全对称的设想，即二象性实物粒子也具有波粒二象性，这种波称为德布罗意波或物质波。
粒子的能量 E?mc2?h? 粒子的动量 P?mc?h ?德布罗意波的统计解释：从统计观点来看，粒子在某处出现的概率与该处波的强度成正比，而强度又和波的振幅的平方成正比。因此，在某处德布罗意波的振幅的平方是与该处附近出现的概率成正比的。这就是德布罗意波的统计解释，它把实物粒子的波动性与粒子性联系了起来。所以说，实物粒子的德布罗意波与经典物理学所讲述的波有本质的不同。机械波是机械振动在空间的传播，而德布罗意波则是对实物粒子的统计描述，其波幅的平方只表示粒子概率出现的概率。因此德布罗意波也称概率波。 （2）不确定度关系
由于微观粒子的波性，粒子在某位置上仅以一定的概率出现，即粒子的位置是不确定的。与此相同，描述微观粒子的其它力学量如能量、动量等也是不确定的。不同力学量的不确定量间存在一定的关系，如
位置—动量的不确定度关系 ?x??px??
2能量—时间的不确定度关系 ?E??t??
2其中，??h?1.05?10?34J·s。
2?
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6．波函数 薛定谔方程
（1）波函数 微观粒子的波动性可用波函数来描述，不同粒子或同一粒子在不同状态，波函数的形式不同。一般波函数都用复数表示。例如，一波长为?和频率为?并沿x轴运动的自由粒子，其波函数为
x???i2π??t?????Ψ?x,t??Ψ0e2
粒子在某一时刻，处于某体积元dV的概率为
ΨdV?ΨΨ?dV
Ψ为粒子出现在某点附近单位体积元的概率，称为概率密度。因此，波函数是单值、
有限、连续、归一化的函数。
（2）薛定谔方程 波函数满足的方程叫薛定谔方程。一维定态（与时间无关）薛定谔
22m方程为 d???2?E?V(x)???0 2dx?2式中，E、V(x)分别是粒子的总能量和势能。如果粒子在三维空间运动，定态薛定谔方程为 ?2?(x,y,z)?2m?E?V(x,y,z)??(x,y,z)?0
?2其中，?为拉普拉斯算符。
一般来说，只要知道微观粒子的质量及在势场中的势能函数V的具体分布形式， 同时考虑到初始条件、边界条件及波函数的性质，由薛定谔方程就可以得出粒子的能量及波函数，进而确定粒子的分布和运动状态。教材简要讨论了一维无限深势阱，并简略地介绍了一维方形势垒和氢原子。读者在学习时应着重理解应用薛定谔方程求解问题的思路，理解边界条件的含义，以及如何应用归一化条件。
7、氢原子的量子理论
（1）氢原子的薛定谔方程 在氢原子中，电子的势函数V()??22
re24??0r，其定态薛定
2m?e2?谔方程为： ???r,?,???2?E????r,?,???0
??4??0r?（2）四个量子数
①电子的能量量子化和主量子数
41me11 （ n?1,2,3??） En??????13.632?2?02?2n28?02h2n2n2me4n称为主量子数。
②轨道角动量量子化和角量子数
L?l(l?1)? （l?1,2,3,?(n?1) ）
l称为角量子数。
③轨道角动量空间量子化和磁量子数
Lz?ml? （ml?0,?1,?2,...,?l ） ml 称为磁量子数。
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