北京市第二十中学2017-2018学年度第一学期期中考试试卷
高二 数学（理）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．各题的四个选项中，有且只有一个符合题意，选出答案后在答题纸上用2B铅笔把对应题目的选项字母涂黑涂满． 1．已知直线l的方程为y??x?1，则该直线l的倾斜角为（ ）．
A．45?
B．135?
C．60?
?45? D．
【答案】B
【解析】k??1?tan???1， ∴??135?． 故选B．
2．若直线3x?y?a?0过圆x2?y2?2x?4y?0的圆心，则a的值为（ ）．
A．1
B．?1
C．3
D．?3
【答案】A
【解析】圆心为(?1,2)，
代入直线方程：3?(?1)?2?a?0， ∴a?1． 故选A．
3．一个边长为10cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当x?6时，则这个容器的侧面积为（ ）．
10x
A．24
B．48 C．60 D．96
【答案】C
11【解析】S侧?c?h??4?6?5?60．
22故选C．
4．直线l1:ax?y?0与直线l2:(a?2)x?y?1?0垂直，则a的值为（ ）．
A．?1
B．?1
C．1 D．?21
或0 【答案】B 【解析】由l1?l2，
可得a?(a?2)?(?1)?(?1)?0， ∴a2?2a?1?0， ∴a??1． 故选B．
5．用a、b、c表示三条不同的直线，?表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a?b，b?c，则a?c； ③若a∥?，b∥?，则a∥b；④若a??，b??，则a∥b． 其中正确命题的序号是（ ）．
A．①②
B．②③
C．③④
【答案】D
【解析】①根据公理4，成立．②不成立，b与c可以相交不垂直． ③a与b可以相交或异面．
④垂直于同一平面的两直线平行，成立． 故选D．
6．由直线y?x?1上的一点向圆(x?3)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为（
A．7
B．3
C．22
【答案】A
【解析】圆心到直线的距离d?(3?1?0)1?1?22，
∴此时切线长最小，最小值为l?d2?R2?8?1?7． 故选A．
7．过点P(5,6)作圆C:(x?1)2?(y?2)2?36的弦，其中最短的弦长为（ ）．
A．2
B．4
C．42
【答案】B
【解析】过圆心内一点最短的弦垂直于过该点的直径，
|PC|?(5?1)??(6?2)2?42，
此时l?2R2?PC2?236?32?4．
D．①④ ）． D．1
D．8
2
故选B．
8．如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2，AB?1，M，N分别在线段AD1，BC上移动，且始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN?x，MN?y，则函数y?f(x)的图象大致是（ ）．
D1CA11MB1
DACBN y y
A．
B．
OxOx y yC．
D．
OxOx【答案】C
【解析】过点M作MH?AD于H，连结HN，
D1CA11MB1
DACHBN∴HN∥AB，
AH?BN?x，MH?2x，HN?1，
∴MN2?MH2?HN2， ∴y?1?4x2，x?[0,1]． 故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．将答案填写在答题纸上．
3
9．在平面直角坐标系中，点A(1,0,2)到点B(3,?4,0)之间的距离为__________． 【答案】26 【解析】|AB|?(1?3)2?(0?4)2?(2?0)2?26， 故AB的距离为26．
10．过原点且倾斜角为60?的直线被圆x2?y2?4y?0所截得的弦长为__________． 【答案】23 【解析】直线方程为y?3x，圆心坐标(0,2)， 圆心到直线的距离为d?|3?0?2|1?3?1，
∴弦长l?2R2?d2?24?1?23， 故弦长为23．
11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长棱的棱长为__________．
2正视图1侧视图1 俯视图【答案】6 【解析】最长棱长为l?12?12?22?6， 故最长棱长为6．
12．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是__________．【答案】12π
【解析】正方体的对角线就是外接球的直径， ∴2R?22?22?22?23， ∴R?3，
∴S?4πR2?4π?3?12π，
4
故表面积为12π．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2?y2?4上有且仅有四个点到直线12x?5y?c?0的距离为1，则实数c的取值范围是__________． 【答案】(?13,13)
【解析】圆上有四个点到直线的距离为1， ∴圆心到直线的距离d?1， ∴d?|c|122?52?|c|?1， 13∴?13?c?13，
故c的取值范围为(?13,13)．
14．直线ax?by?1与圆x2?y2?1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P(a,b)与点(2,2)之间距离的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为△AOB为直角三角形，|OA|?|OB|?1， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴O到直线的距离为∴d?1a2?b2?2， 22， 2∴a2?b2?2．
P(a,b)与点Q(2,2)的距离|PQ|?(a?2)2?(b?2)2?a2?b2?4a?4b?8?10?4(a?b)，
∵a2?b2≥2ab， ∴2(a2?b2)≥(a?b)2， ∴(a?b)≤2(a2?b2)?2，
?|PQ|?10?4(a?b)≥10?8?2，
故|PQ|的最小值为2．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A(?2,?2)，B(4,0)，C(0,2)． （1）求过点A且与直线BC垂直的直线方程．
5
（2）求△ABC的面积． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）BC的斜率R?0?24?0??12， ∴与BC垂直的直线斜率为2，
∴所求m直线方程为y?(?2)?2[x?(?2)]， 化简可得：2x?y?2?0，
故过A与BC垂直的直线方程为：2x?y?2?0．
（2）设A到BC的距离为d，|BC|?(4?0)2?(0?2)2?25， BC所在的直线方程为y??12x?2，即为x?2y?4?0，
∴d?|?2?4?4|1?4?25．
∴S12d?|BC|?1△ABC?2?25?25?10，
故△ABC的面积为10．
16．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥S?ABCD中，所有侧棱长与底面边长均相等，E为SC的中点．求证：SE
ADBC（1）SA∥平面BDE． （2）BD?平面SAC． 【答案】见解析．
【解析】证明：（1）设AC与BD交于点O，连结OE，
6