17.2实际问题与反比例函数
第一课时 实际问题与反比例函数
一、教学目标
（一）知识与技能
1．能灵活运用反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．
（二）过程与方法
利用反比例函数的知识，分析、解决实际问题.
（三）情感、态度与价值观
渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力. 二、教学重、难点
重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
三、教学准备 多媒体，复习已学过的反比例函数的图象和性质，预习本节课的
内容，尝试收集有关本节课的情境资料．
四、教学方法
分组讨论，讲练结合 五、教学过程
(一)创设情景，引入新课 问题1：
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工
时应该向下挖进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
设计意图：
让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．
在此活动中，教师应重点关注： ①能否从实际问题中抽象出函数模型； ②能否利用函数模型解释实际问题中的现象； ③能否积极主动地阐述自己的见解．
生：我们知道圆柱的容积是底面积×深度，而现在容积一定为
104 m3，所以S·d＝104．
变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S＝ 所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数． 生：根据函数S＝
10d410d4．
，我们知道给出一个d的值就有唯一
的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．
题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S＝500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S＝500m2时，d＝?m．根据S＝
10d4,得500＝
10d4，解得d＝20．
即施工队施工时应该向下挖进20米．
生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d＝15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d＝15m，S＝多少m2呢?
根据S＝ S＝
10d410d4，把d＝15代入此式子，得
≈666.67．
当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要．
师：大家完成的很好．当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解。
(二)例题分析
例1．见教材P57
分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3）问则是与（2）相反
例2．见教材P58
分析：此题类似于应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数
的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值，这个最小值是多少？
例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得P?96V，（3）问
中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米.
32例3如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．
(1) 漏斗口的面积S与漏斗的深d 有怎样的函数关系?
(2) 如果漏斗口的面积为100平方厘米， 则漏斗的深为多少? 设计意图：
让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重
要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望． 此活动中，教师应重点关注：
①学生能否顺利建立实际问题的数学模型；
②学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣；
③学生能否注意到单位问题．
解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为S
cm2，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米． 13000
所以， S·d＝1000， S＝ ．
3d
3000
(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝ ,中，得
d3000
100＝ ， d＝30(cm)．
d
所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm． 例4
(1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函
数表达式。
(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?
(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 设计意图：
进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么?