一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。
?1,x?1?,F(x)?f(x)?kx,x?R，试讨论函数F(x)的单调性。 例1 设k?R，函数f(x)??1?x??x?1,x?1?二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在
定义域内，从而引起讨论。 例2 已知a是实数，函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）设gf?x??x?x?a?
f?x?的单调区间；
?a?为f?x?在区间?0,2?上的最小值。
（ii）求a的取值范围，使得?6?g?a???2。 ?a?的表达式；
（i）写出g三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，
但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
2ax?a2?1例3已知函数f?x???x?R?，其中a?R。 2x?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?（Ⅱ）当a?0时，求函数 例4（改编）设函数例5已知函数
f?x?在点?2,f?2??处的切线方程；
f?x?的单调区间与极值。
f?x??x2?bln?x?1?，其中b?0，求函数f?x?的极值点。
f(x)?(a?1)lnx?ax2?1
f(x)的单调性；
f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。
（I） 讨论函数
（II） （II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|例6已知函数
xf(x)=In(1+x)-x+x2(k≥0)。
2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=例7设
f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任
意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得(1)设函数
f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称函数f(x)具有性质P(a)。
f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?1(i)求证：函数(2)已知函数
f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。
g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2设,m为实数，??mx1?(1?m)x2，
??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。
?1?k?1?x?2,x?1??12?kx,x?1,???1?x?例1解：F(x)?f(x)?kx??1?x。 ,F'(x)????x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1??2x?1?考虑导函数F'(x)?0是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。 （一）若x?1，则F'(x)?1?k?1?x?2?1?x?2。由于当k?0时，F'(x)?0无实根，而当k?0时，F'(x)?0有实根，
因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。
（1） 当k?0时，F'(x)?0在(??,1)上恒成立，所以函数F(x)在(??,1)上为增函数；
??1????1???kx?1?x?1?2??????1?k?1?x?k?k?????????。 （2） 当k?0时，F'(x)??22?1?x??1?x?由F'(x)?0，得x1??1???1?1??,x?1??2??，因为k?0，所以x1?1?x2。 k?k??由F'(x)?0，得1?11?x?1；由F'(x)?0，得x?1?。 kk11)上为减函数，在(1?,1)上为增函数。 kk因此，当k?0时，函数F(x)在(??,1?（二）若x?1，则F('x)??1?2kx?1。由于当k?0时，F'(x)?0无实根，而当k?0时，F'(x)?02x?1有实根，因此，对参数k分k?0和k?0两种情况讨论。 （1） 当k?0时，F'(x)?0在
?1,???上恒成立，所以函数F(x)在?1,???上为减函数；
1?k?x?1???1?2kx?12k???。 （2） 当k?0时，F'(x)???2x?1x?1由F'(x)?0，得x?1?111?x?1?；由，得。 F'(x)?04k24k2因此，当k?0时，函数F(x)在?1,1???1?1??上为增函数。
上为减函数，在1?,???2?4k2???4k?a?3?x??3?x?a3x?a??x?0?，由f'(x)?0'例2解：（Ⅰ）函数的定义域为?0,???，f?x??x????2x2x2x
得x?aa。考虑是否落在导函数f'(x)的定义域?0,???内，需对参数a的取值分a?0及a?0两种情33况进行讨论。 （1） 当a?0时，则（2） 当a?0时，由
f'(x)?0在?0,???上恒成立，所以f?x?的单调递增区间为?0,???。 aaf'(x)?0，得x?；由f'(x)?0，得0?x?。
33因此，当a?0时，
a??a?。
，的单调递增区间为f?x?的单调递减区间为?fx0,,????????3???3?（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：
（1） 当
a?0时，f?x?在?0,???上单调递增，从而f?x?在?0,2?上单调递增，所以
g?a??f?0??0。
（2） 当a?0时，
a??a?上单调递增，所以：
上单调递减，在f?x?在?0,,??????3???3?① 当
aa??a?上单调递增，
??0,2?，即0?a?6时，f?x?在?上单调递减，在0,,2????333????所以g② 当
a?2a???a??f????3?32a3aa。 ??93a??2,???，即a?6时，f?x?在?0,2?上单调递减，所以g?a??f?2??2?2?a?。 3例3解：（Ⅰ）当a?1时，曲线y?f?x?在点?2,f?2??处的切线方程为6x?25y?32?0。
22?x?1??2ax?a???a?2a?x?1??2x?2ax?a?1???。 '（Ⅱ）由于a?0，所以f?x???22?x2?1??x2?1?1f'?x??0，得x1??,x2?a。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参
a数a的取值分a?0和a?0两种情况进行讨论。
由
（1） 当a?0时，则x1?x2。易得
1??1?为增函，内为减函数，在区间f?x?在区间?a,????,??,a??????a???a?数。故函数
11?f?x?在x1??处取得极小值f????a2；函数f?x?在x2?a处取得极大值f?a??1。 ??a?a?11f?x?在区间(??,a)，(?,??)内为增函数，在区间(a,?)为减函
aa（2） 当a?0时，则x1?x2。易得数。故函数
11?f?x?在x1??处取得极小值f????a2；函数f?x?在x2?a处取得极大值f?a??1。 ??a?a?
b2x2?2x?b?例4解：由题意可得f?x?的定义域为??1,???，f?x??2x?，f'?x?的分母x?1在定x?1x?1'义域
??1,???
2上恒为正，方程2x（1）当
?2x?b?0是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。
11时，方程2x2?2x?b?0无实根或只有唯一根x??，所以22??4?8b?0，即b?2 g?x??2x?2x?b?0在
??1,???上恒成立，则f'?x??0在??1,???上恒成立，所以函数f?x?在??1,???上单调递增，从而函数
1'2时，方程2x?2x?b?0，即f?x??0有两个不相等的实根： 2f?x?在??1,???上无极值点。
（2）当??4?8b?0，即b?x1?这两个根是否都在定义域（
ⅰ
）
?1?1?2b?1?1?2b。 ,x2?22??1,???内呢？又需要对参数b的取值分情况作如下讨论：
当
b?0时，
x1??1?1?2b?1?1?2b??1,x2???1，所以
22x f'?x? f?x? ??1,x2? x1???1,???,x2???1,???。
此时，
f?x?与f?x?随x的变化情况如下表：
'?x2 0 极小值 ?x2,??? ? 递减 递增 由此表可知：当
b?0时，f?x?有唯一极小值点
x2?（
?1?1?2b。
2ⅱ
）
当
x 0?b?12时
，
??1,x1? x1 ?x1,x2?x2 ?x2,??? f'?x? ?1?1?2b?1?1?2bx1???1,x2???1f?x? 22，所以x1?此时，
? 0? 0? 递增 极大值 递减 极小值 递增 ??1,???,x2???1,???。
f'?x?与f?x?随x的变化情况如下表：
1?1?1?2b?1?1?2b时，f?x?有一个极大值点x1?和一个极小值点x2?。 222由此表可知：当0?b?
a?12ax2?a?1?2ax?例5解：（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）. f'(x)?. xx当a?0时，
f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；
f'(x)=0，解得x??a?1. 2a当a??1时，
当-1＜a＜0时，令
则当x?(0,?a?1a?1)时，f'(x)＞0；x?(?,??)时，f'(x)＜0. 2a2a故
f(x)在(0,?a?1a?1)单调增加，在(?,??)单调减少. 2a2a（Ⅱ）不妨假设x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ?x1,x2?(0,??)，等价于 ?x1,x2?(0,??)，
令g(x)?f(x1)?f(x2)?4x1?x2
f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①
a?1?2ax?4 xa?1?2ax?4?0. ①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即 xf(x)?4x，则g'(x)??4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2???2 故a的取值范围为（-∞，-2]. 从而a?2222x?12x?12x?1例6解：（I）当k?2时， 由于
f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)?1?1?2x 1?x3f(1)?ln2，f'(1)?， 所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
23 y?ln2?(x?1) 即 3x?2y?2ln2?3?0
2x(kx?k?1)（II）f'(x)?，x?(?1,??).
1?xx 当k?0时，f'(x)??. 所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0.
1?x 故
f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??).
f'(x)?x(kx?k?1)1?k?0，得x1?0，x2??0
1?xk1?k1?k,??)上，f'(x)?0；在区间(0,)上，f'(x)?0 所以，在区间(?1,0)和(kk1?k1?k,??)，单调递减区间是(0,). 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(kk 当0?k?1时，由