由（II）得f?从而x2?
2a?2??11??x1??f???x1??f(x1)?0. ?a??aa?x1?x22?1a.， 由（I）知，f?(x0)?0. ?x1,于是x0?【例8】（2011 江苏 19）已知a，b是实数，函数f(x)?x3?ax,g(x)?x2?bx, f?(x)
和g?(x) 是f(x)、g(x)的导函数，若f?(x)g?(x)?0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致. （1）设a?0，若函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致,求实数b的取
值范围；
（2）设a?0,且a?b，若函数f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单
调性一致，求a?b的最大值.
【解析】?f(x)?x3?ax,g(x)?x2?bx,?f?(x)?3x2?a,g?(x)?2x?b （1）因为函数f(x)和g(x)在区间[?1,??)上单调性一致， 所以，对?x?[?1,??),f'(x)?g'(x)?0恒成立 即?x?[?1,??),(3x2+a)(2x?b)?0恒成立。 ?a?0,3x?a?0,??x?[?1,??),2x+b?0 2即,??x?[?1,??),b??2x,?b?2，故b的取值范围是[2（2）【法一】由f?(x)?0得：x???若b?0，则由a?0，0?(a(a,b),??) a3 ，于是f(x)和g(x)在区间,b),f?(0)?g?(0)?ab?0上不是单调性一致, 所以b?0. ,0)时，,g?(x)?0；当x?(??,??因为当x?(??当x?(??a3a3)时，,f?(x)?0； ,0)时，f?(x)?0所以要使f?(x)g?(x)?0, 只有a???所以|a?b|?a313,b???a31,即??a?0,??b?0, 3311。 取a???21?,b?0，则f?(x)g?(x)?6x?x?? 39???1?1当x???,0?时, f'(x)g'(x)?0。 因此|a?b|max?3?3? ,a)上单调性一致， 【法二】①当b?a时，因为，函数f(x)和g(x)在区间(b所以，?x?(b,a)， f(x)g(x)?0，即?x?(b,a)''，(3x2+a)(2x?b)?0， 因为 b?a?0，所以 2x?b?0。故有 ?x?(b,a),a??3x2，即b?a??3b2 设z?a?b，考虑点(b,a)的可行域，函数y??3x2的斜率为1的切线的切设为1(x0,y0)，则?6x0?1，得：x0??16，从而 y0??12 ?zmax??112?(?16)?16。 ②当a?b?0时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，\x巫(a,b),f(x)g(x) 0,，即 \x?(a,b),(3x''a)(2x+b) 0, -3x, \\2?b<0,\\\x?(a,b),2x13＃a0,，\\b<0，\\\x危(a,b),a13a?3a, 2 从而得：-(b-a)max= ③当a?0?b时，因为，函数f(x)和g(x)在区间（a, b）上单调性一致，所以，\x巫(a,b),f(x)g(x) 0,即\x?(a,b),(3x''a)(2x+b) 0, ?b?0,而x=0时，(3x+a)(2x+b)=ab<0，不符合题意， 时，由题意：\x?(a,b),(3xb<0， \\b-a<113④当a?0?ba)(2x+b) 0,2易知，\x?(a,b),2x\\-13
考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查
用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.(1)中档题；（2）难题.
【例9】（2009 湖北）已知关于x的函数f(x)＝
13x3＋bx
2
＋cx＋bc,其导函数为f+(x)。.
令g(x)＝f?(x),记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：
34 （Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。 【解析】（I） ?f'(x)??x?2bx?c2，由f(x)在x?1处有极值? 34?f'(1)??1?2b?c?0可得 ?14?f(1)???b?c?bc???33??b?1?b??1,解得 ?c??1或 ?c?3 ?? 22若b?1,c??1，则f'(x)??x?2x?1??(x?1)?0，此时f(x)没有极值； 若b??1,c?3，则f'(x)??x2?2x?3??(x?1)(x?1)。 列表如下： x (??,?3) ??3 (?3,1) 1 0 极大值? 34(1,??) ?f'(x) f(x) 0 极小值?12 43+ ? ? ? 所以当x?1时，f(x)有极大值?， 故b??1，c?3即为所求。 （Ⅱ）【法一】：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)?b?c| 22当|b|?1时，函数y?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1.1]之外。 应是g(?1)和g(1)中较大的一个 ?2故M?f'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得。?2M?g(1)?g(?1)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?|4b|?4,即M 【法二】（反证法）：因为|b|?1，所以函数y?之外。 ?f'(x)的对称轴x?b位于区间[?1,1]故Mf'(x)在[?1,1]上的最值在两端点处取得。应是g(?1)和g(1)中较大的一个。 假设M?2，则 g(?1)?|?1?2b?c|?2g(1)?|?1?2b?c|?2 ?2 将上述两式相加得：4?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?4|b|?4，导致矛盾，?M（Ⅲ）【法一】：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)2?b2?c| （1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M（2）当|b|?1时，函数y?f'(x?2； ）的对称轴x?b位于区间[?1,1]内， 此时M?max?g(?1),g(1),g(b)? 由f'(1)?f2f'(b)?f'(?1)?b(?1)?0 有'(?1)?4b, ①若?1?b?0,，则，f'(1)?f'(?1)?f'(b),?g(?1)?max?g(1),g(b)?121212，于是 2M?max?|f'(1),|f'(b)|??(|f'(1)|?f'(b)|)?|f'(1)?f'(b)|?(b?1)?12
②若0?b?1，则f'(?1)?f'(1)?f'(b),?g(1)?max?g(?1),g(b)?12(|f'(?1)|?|f'(b)|)?12。 于是 12(b?1)?2M?max?|f'(?1)|,|f'(b)|??|f'(?1)?f'(b)|?12 综上，对任意的b、c都有M而当b?0,c?时，g(x)?212?1212 在区间[?1,1]上的最大值M1?12?x? 故 M?k对任意的b、c恒成立的k的最大值为。 2【法二】：g(x)?|f'(x)|?|?(x?b)?b?c| 22（1）当|b|?1时，由（Ⅱ）可知M（2）当|b|?1时，函数y??2； 位于区间[?1,1]内， f'(x)的对称轴x?b此时M?max?g(?1),g(1),g(b)? 4M?g(?1)?g(1)?2g(h)?|?1?2b?c|?|?1?2b?c|?2|b?c| ?|?1?2b?c?(?1?2b?c)?2(b?c)|?|2b?2|?2222，即M?12 下同解法1 【例10】（2010 湖北）已知函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的图象在点(1,f(1))处的切线
方程为y?x?1
（1）用a表示出b、c。 （2）若f(x)?lnx在[1, （3）证明：1?【解析】（1）f12?bx2??)上恒成立，求a的取值范围。
n(n?1)
?b?a?1??c?l?2a13???1n?ln(n?1)?2(n?1)'(x)?a?，则有：??f(l)?a?b?c?0?f'(l)?a?b?1，解得 （2）由（Ⅰ）知，f(x)?ax? 设 g(x)?f(x)?lnx?ax?a?1xa?1x2?1?2a， x??1,????1?2a?lnx。易知 1g(1)?0， ) 则 g'(x)?a?a?1x2?1x?ax?x?(a?1)x2a(x?1)(x??x21?aa 令 g?(x)?0，求得：x?①若1?aa?111 或 x?1?aa1?aa 时，g'(x)?0，g(x)是减函数， 即 o?a?当1?2。，x?所以g(x)?g(l)?o，有f(x)?lnx，故f(x)?lnx在?1,???上不恒成立。 ②若1?aa?l ，即a?1当x?1时，g?(x)?0，g(x)是增函数，所以， 2。 g(x)?g(1)?0，故f(x)?lnx恒成立。 综上所述，所求a的取值范围为??（3））【解法一】由（2）知：当a? 令a? 令x?1212?,????2?1 时，有f(x)?lnx?x?1?。 。 ，有f(x)??x?2?1?1?1?1????lnxx?1x?。当时，x?1????lnxx?2?x?k+1k，有lnk+1k?1?k+1k?1?11????????2?kk?1?2?kk?1? 即 ln(k?1)?lnk?1?11??23?、n， ??k?1、、、2?kk?1?