f'(x) f(x) + 单调递增 - 单调递减 + 单调递增 由此得，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)， 单调减区间为(1?2a,?1)． ②由a?1时，1?2a??1，此时，f故函数f(x)的单调区间为R； ③当a?1时，1?2a??1，同理可得函数(1?2a,??)，单调减区间为(?1,1?2a)． f(x)'(x)?0恒成立，且仅在x??1处f'(x)?0， 的单调增区间为(??,?1)和综上：当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,1?2a)和(?1,??)， 单调减区间为(1?2a,?1)； 当a?1时，函数f(x)的单调增区间为R； 当a?1时，函数f(x)的单调增区间为(??,?1)和(1?2a,??)， 单调减区间为(?1,1?2a) （Ⅲ）当a??1时，得f(x)?13xx?x?3x32，由f'(x)?x?2x?3?02，得x1??1,x2?3． 由（Ⅱ）得f(x)的单调增区间为(??,?1)和(3,??)，单调减区间为(?1,3)，所以函数f(x)在x1??1,x25?3处取得极值，故M(?1,),N(3,?9)， 38所以直线MN的方程为y??x?1， 313?2y?x?x?3x??3?8由 ?得xy??x?1?3?3?3x?x?3?0 解得x1??1,x2?1.x3?3， 2?x1??1?x2?1?x3?3????5?11?， y??9y?,y??,?3?1?23?3?所以线段MN与曲线f(x)有异于M,N的公共点(1,?113) ． 7．解析：（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)?0,即4b?c?3?0? ?① 2又f?(x)?3x?4bx?c，由已知f?(2)?12?8b?c?5得8b?c?7?0??② 联立①②，解得b??1,c?1． 所以函数的解析式为f(x)?x3?2x2?x?2． （II）因为g(x)?令g?(x)?3xx?2x?x?2?133213mx． 2?4x?1?m?0 ．2当函数有极值时，则??0，方程3x由??4(1?m)?0，得m?1． ?4x?1?13m?0有实数解， ①?? 当m?1时，g?(x)?0有实数x?，在x?左右两侧均有g?(x)?0， 3322故函数g(x)无极值； ②当m?1时，g?(x)?0有两个实数根x列表如下： x g?(x) g(x) (??,x1) 1?13(2?1?m),x2?13(2?1?m), x1 (x1,x2) x2 (x2??) + ↗ 0 极大值 - ↘ 0 极小值 + ↗ 所以在m?(??,1)时，函数g(x)有极值； 当x?
13(2?1?m)时，g(x)有极大值；当x?13(2?1?m)时，g(x)有极小值．