空间向量教案
一:两个向量的数量积(关键要设基底,把要求的量用基底表示) 考点一：空间向量数量积的定义、运算律及性质
例1：已知向量a?b,?a,c???3,?b,c???6,且|a|?1,|b|?2,|c|?3，求向量a?b?c的模
解：依题意|a?b?c|2?(a?b?c)2?17?63，所以|a?b?c|?17?63 。
考点二：垂直问题
例1：已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q 分别为BC、AC、OA、OB的中点,若AB=OC,求证: PM?QN. O 证明:如图,设OA?a,OB?b,OC?c,又P、M 分别为OA、BC的中点，
1?PM?OM?OP?[(b?a)?c].P 2Q 1 同理，QN??[(b?a)?c].C A 2N M 1?PM?QN??[|b?a|2?|c|2]B 4 又AB=OC，即|b?a|?|c|,
?PM?QN?0,?PM?QN,即PM?QN.
考点三：夹角问题
例1：如图，已知E是正方体ABCD?A试求向量AC 的棱C1D1的中点，1B1C1D111与DE所成的角。 A D 解:设正方体的棱长为m, AB?a,AD?b,AA1?c,
则|a|?|b|?|c|?m,a?b?b?c?a?c?0
a B 又AC11?A1B1?B1C1?a?b,DE?DD1?D1E?C?C 2A1 D1
12125 ?AC?DE?a?m,又|AC|?2m,|DE|?m 1111222E
B1
C1
1?cos?AC11,DE??
AC1011?DE?10|AC11|?|DE|1010
?AC11与DE所成的角为arccos考点四：长度问题
例1：如图（1），在?ABC中，?C＝60，CD为?C的平分线，AC=4，BC＝２.过B点作BN?CD, 垂足为N，BN的延长线交CA于点E,将图形沿CD折起，使?BNE?120,求折后所得线段AB
的长度。
??AMCD?解：如图（2），过点A作，垂足为MAM，则AC??nis302??
MN?MC?CN?4cos30??2cos30??3,NB?2sin30??1
又AM∥NE,?AM,NB=EN,NB=60 ?|AB|?|AM?MN?NB|?10,即AB的长度为10。
〈〉〈
〉B C
B D N E
M
D N E C
A
A
(1)
(2)
二:空间向量的坐标运算 考点一：平行问题
例1：如图所示，在长方体OAEB?O1A点P在棱AA1上，且中，|OA|=3,|OB|=4,|OO|=2,1E1B11O1 证明：如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2) 由定比分点公式得，P?3,0,?,Q?0,2,2?,R?3,2,0?,S?0,4,?.
|AP|?2|PA1|,点S在棱BB1上，且|SB1|?2|BS|,点Q、Ｒ分别是棱O1B1、AE的中点。
z 求证：PQ∥RS
Q ??4?3???2?3?A1 P A x O R E E1 B1 2??于是PQ???3,2,??RS,?PQ∥RS.R?PQ,?PQ∥RS.
3??评析：利用向量坐标运算证明线线平行时，（1）需证明两向量共线
S B y aaa【a∥b?b??a或者若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，则a∥b?1?2?3】
b1b2b3（2）证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上。
例2：在如图所示的正方体AC1中，P是C1D1的中点，M、N分别是面对角线AC、DA1上的点，且满足AM:MC=DN:NA1=1:2.
z (1)证明：BD1∥平面MND;(2)证明：平面PBC1∥平面MND. P D1 C1 证明：如图，建立空间直角坐标系，并设正方体棱长为3.
(1)A?3,0,0?,C?0,3,0?,AM∶MC?1∶2,?M?2,1,0?， 同理可得N?1,0,1?,?MN???1,?1,1?, 又B?3,3,0?,D1?0,0,3?,?BD1???3,?3,3??3MNA1 N D M
B1 C B y ?MN∥BD1.又BD1?平面MND?BD1∥平面MND.3?3?3??(2)P?0,,3??CP??0,?,3?.令CP＝xDM＋yDN?x??,y?3.2?2?2??3DM、DN共面。又CP?平面DMN?CP∥平面DMN. 则CP＝?DM＋3DN?CP、2 同理可得CB1??3,0,3??3DN?CB1∥DN,又CB1?平面DMN?CB1∥平面DMN.A x 又CP?C1B?C?平面PB∥平面MN. D1C评析：(1)共面向量定理：如果a,b不共线，p与a,b共面?存在唯一实数对x、y,使p＝xa＋yb.(2)要证直线AB平行于平面?，只需证明AB与平面?中的一组基向量共面。考点二：垂直问题
例1：在如图所示的正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点。
z （1） 证明：AB1?EH;(2)证明：AG?平面EFD. 1 A1 D1 证明：以A点为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则
H A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1)
B1 1??1??1???11?C1 由中点性质得 E?1,1,?,F?1,,0?,G?,1,0?,H?,,1?, E D 2??2??2???22? A 111??y (1)?AB1??1,0,1?,EH???,?,?,?AB1?EH?0,B G ?222?x F C ?AB1?EH,即AB1?EH1?1??1???(2)?AG?,1,?1,DF?1,?,0,DE?1,0,11?DF?0,AG1?DE?0，???????AG2?2? ?2????AG?DE,AG?DF，即A1G?平面EFD11评析：若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3.
三:用空间向量求直线和平面所成的角与二面角
（法向量：如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面?，则称这个向量垂直于
平面?，记作a??.如果a??,那么向量a叫做平面?的法向量。
用向量法求二面角：过棱上一点作棱的两个垂直向量，利用其夹角。也
可以借助于两个半平面的法向量的夹角求解，但一定要注意向量的方向与二面角的平面角的关系。）
考点一：线面角的向量求法
例1：已知正方体AC1的棱长为2，求DD1与平面A1BD所成的角。
解：如图，建立空间直角坐标系，则D?2,0,0?,D1?2,0,2?,B?0,2,0?,A1?0,0,2?.
?DB???2,2,0?,DA1???2,0,2?,DD1??0,0,2?.
设平面A1BD的法向量n??x，y，，1?A1 D1 D x A z B1 C1
??DBn?0??2x?2y?0?x?1 则????y?1??DA1n?0??2x?2?0?平面的法向量为n??111，，。?cos