三、模型的假设
模型的假设与说明
1、相机照相的过程，保持同素性(直线对应直线) 和结合性(点和直线的结合)。
2、相机对平面图形照相保持上下、左右的位置关系。 3、假设假设成像过程严格遵守针孔成像模型无几何畸变。
4、坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面。
四、模型的建立与求解
问题一、
根据前面的分析, 我们建立如下算法步骤：
步骤1 像图处理。这里我们利用photoshop的坐标对图形进行坐标化处理，首先将图形导入到photoshop中，并限定好图形的像素，再利用photoshop中的标尺，对图形进行坐标化处理。
步骤2 求像上的最点（最上、最下、最左和最右点）的坐标。
步骤3 通过坐标转换，取中间点的坐标，即为圆心的像在像平面上的坐标。 步骤4 设相机的焦距为M, 则圆心的像的坐标为( x, y, M)。
问题二、
我们利用上面建立的模型, 对由图1、图2分别给出的靶标及其像, 具体计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。具体步骤如下:
步骤1 像图处理。首先将图形导入到photoshop中，并限定其分辨率为1024x768，然后建立标尺，对其进行坐标化处理（图3）。
图3 单位：像素
4
步骤 2 运用标尺直接得出每一个圆的像上的最上、最下、最左和最右点的坐标(表1)。
表1 单位：像素 A B C D E 最上 147 155 174 469 465 最下 231 237 251 536 537 最左 280 382 604 548 246 最右 365 464 677 618 325 步骤3 建立空间坐标系(图4):以该相机的焦点为坐标原点o, xoy 平面平行于像平面, x 轴水平向右, y轴垂直向下, z 轴垂直像平面,以一个像素为单位长度。
图4 相机坐标系 图
经过计算，得出圆心像点坐标如下（表2）。
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点 A’ B’ C’ D’ E’ 表2 圆心像点坐标 单位：像素 空间坐标系坐标 像平面坐标 (-189.5,-195,1577) (-189.5,-195) (-89,-188,1577) (-89,-188) (128.5,-171.5,1577) (128.5,-171.5) (71,118.5,1577) (71,118.5) (-226.5,117,1577) (-226.5,117) 步骤4 相机的像距（即光学中心到像平面的距离）M为1577个像素单位，得到圆心像点在空间坐标系中的坐标如表2所示。
问题三、
空间的投射投影具有切点位置不变的性质，投射投影变换属于仿射变换，点在线上的位置关系不会改变。
我们采用两种模型检验上面的模型的精度和稳定性。
模型一：（1）根据几何学中三点共线的比例关系以及靶标和像平面中A、B、C三点共线的特点，我们很容易的建立下列几个等式关系：
图5 针孔成像的原理图形
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图6 ABAB'?由 得到： BCBC'AB'= BC'
100.52?(7)2 = 0.4408 22(217.5)?(16.5)AB30= = 0.4286 BC70可以看出：两个数据吻合的较好，前两问所采用的模型是比较准确合理的。
模型二： 椭圆方程的拟合
本模型要求作椭圆的曲线，由于所给图像分辨率不高，仅为1024*768像素，所以如果直接用图像中图形边界做切线，精度将会变得非常低，会造成很大的误差，所以在本模型中，先要利用所给图像中图形的边界(在1中提取)拟合出椭圆的方程。
平面中，二次曲线的一般方程是：
F(x)?ax?bxy?cy?dx?ey?f?0
22设用N个点拟合一个椭圆，
可以把椭圆拟合的问题转换为最小二乘问题，如下： 图10 经过图形处理软件处理过的像平面的边界
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由图可看出，图上既有误差较大的，又有误差较小的点，选取多个像图边缘上误差较小的点作为数据，利用MATLAB进行最小二乘法拟合出曲线方程。 程序见附录。
图10为实际过程中椭圆拟合的效果图，从图中可以看出，方程对于椭圆做了很好的拟合。
图7 椭圆拟合效果图
图中五个椭圆方程拟合的结果如表3所示。
表3 椭圆方程参数 F(a,x)?a?x?ax2?bxy?cy2?dx?ey?f?0 圆 A B C D E d e f -5.6590 -208.1902 7145.98 -537.2256 0 3891.741 -204.4724 -291.0644 2544.3 -268.9240 -647.1483 3512.2 -309.6662 -590.5596 1915.0 已知椭圆方程再利用下面的公式变换出椭圆在像平面上的圆心坐标 （单位：像素）
按上述模型求得的圆心坐标如表5所示，
表4 像点坐标
X Y 圆 X X’ Y Y’ A -189.5 -194 -195 -214.5 B -89 -73.7 -188 -163.2
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a 0.037363 0.019962 0.079431 0.247840 0.4521153 b 0 0 0 0 0 c 1 1 1 1 1