第19讲 图形的分割与拼接
怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。 例1请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。
分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。
方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。
方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。
方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。 方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。
前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。本题还有更多的分割方法。 例2将右图分割成五个大小相等的图形。
分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。3个小正形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。
方形有和两种
例3右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。
分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。下面是六种分割方法。
例4将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。
分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。
例5有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。 分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何
以可将原来的长分为4份，宽分为3份（见下页左上图），现在的长与宽如下页右上图。
容易得到下图所示的分割与拼接的方法。
例6用四块相同的不等腰的直角三角板，拼成一个外面是正方形，里面有正方形孔的图形。
分析与解：右图所示的三角板，∠A是直角，∠B+∠C=90°。因为要拼的图形有内外两个正方形，所以有将∠A作为外正方形的角（左下图）和拼内正方形的角（下中图）两种情况。若三角板法。
练习19
1.试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。
2.用四种方法将左下图分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。
3.将右上图分成四个大小相等、形状相同的图形。 4.将下图分成两块，然后拼成一个正方形。
可以重叠放置，还有右下图所示的拼
5.将一块30×20的方格纸分成大小、形状都相同的两块，然后拼成一个24×25的长方形。
6.将一个正方形分成相等的4块，然后用这4块分别拼成三角形、平行四边形和梯形。
第23讲 列方程解应用题
有些数量关系比较复杂的应用题，用算术方法求解比较困难。此时，如果能恰当地假设一个未知量为x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数x，那么就得到一个含有未知数x的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。
例1商店有胶鞋、布鞋共46双，胶鞋每双7.5元，布鞋每双5.9元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入10元。问：胶鞋有多少双？
分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来，用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。
设胶鞋有x双，则布鞋有（46-x）双。胶鞋销售收入为7.5x元，布鞋销售收入为5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入10元可列出方程。 解：设有胶鞋x双，则有布鞋（46-x）双。 7.5x-5.9（46-x）=10， 7.5x-271.4+5.9x=10， 13.4x=281.4， x=21。
答：胶鞋有21双。
分析：因为题目条件中黄球、蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以
答：袋中共有74个球。
在例1中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有x双；在例2中，求袋中共有多少个球，我们设红球有x个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例1那样，直接设题目所求的未知数为x，即求什么设什么，这种方法叫直接设元法；像例2那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为x，这种方法叫间接设元法。具体采用哪种方法，要看哪种方法简便。在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。
例3某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的2倍，计划修建住宅若干座。若每座住宅使用红砖80米3，灰砖30米3，那么，红砖缺40米3，灰砖剩40米3。问：计划修建住宅多少座？
分析与解一：用直接设元法。设计划修建住宅x座，则红砖有（80x-40）米3，灰砖有（30x+40）米3。根据红砖量是灰砖量的2倍，列出方程 80x-40=（30x+40）×2， 80x-40=60x+80， 20x=120，
x=6（座）。
分析与解二：用间接设元法。设有灰砖x米3，则红砖有2x米3。根据修建住宅的座数，列出方程。
（x-40）×80=（2x+40）×30， 80x-3200=60x+1200， 20x=4400，
x=220（米3）。
由灰砖有220米3，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。 同理，也可设有红砖x米3。留给同学们做练习。
例4教室里有若干学生，走了10个女生后，男生是女生人数的2倍，又走了9个男生后，女生是男生人数的5倍。问：最初有多少个女生？
分析与解：设最初有x个女生，则男生最初有（x-10）×2个。根据走了10个女生、9个男生后，女生是男生人数的5倍，可列方程 x-10=[（x-10）×2-9]×5， x-10=（2x-29）×5， x-10=10x-145， 9x=135，
x=15（个）。
例5一群学生进行篮球投篮测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进不到8个球的人平均投进3个球。问：共有多少人参加测验？
分析与解：设有x人参加测验。由上表看出，至少投进3个球的有（x-7-5-4）人，投进不到8个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数， 0×7+1×5+2×4+6×（x-7-5-4） = 5+8+6×（x-16） = 6x-83，
也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数， 3×（x-3-4-1）+8×3+9×4+10×1， = 3×（x-8）+24+36+10 = 3x+46。
由此可得方程 6x-83=3x+46， 3x=129，
x=43（人）。
例6甲、乙、丙三人同乘汽车到外地旅行，三人所带行李的重量都超过了可免费携带行李的重量，需另付行李费，三人共付4元，而三人行李共重150千克。如果一个人带150千克的行李，除免费部分外，应另付行李费8元。求每人可免费携带的行李重量。
分析与解：设每人可免费携带x千克行李。一方面，三人可免费携带3x千克行李，三人携带150千克行李超重（150-3x）千克，超重行李每千克应付4÷（150-3x）元；另一方面，一人携带150千克行李超重（150-x）千克，超重行李每千克应付8÷（150-x）元。根据超重行李每千克应付的钱数，可列方程 4÷（150-3x）=8÷（150-x）， 4×（150-x）=8×（150-3x）， 600-4x=1200-24x， 20x=600，
x=30（千克）。
练习23
甲、乙二人各有存款多少元？
还剩60元。问：
有多少溶液？
3.大、小两个水池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容积是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？
4.一群小朋友去春游，男孩每人戴一顶黄帽，女孩每人戴一顶红帽。在每个男孩看来，黄帽子比红帽子多5顶；在每个女孩看来，黄帽子是红帽子的2倍。问：男孩、女孩各有多少人？
5.教室里有若干学生，走了10个女生后，男生人数是女生的1.5倍，又走了10个女生后，男生人数是女生的4倍。问：教室里原有多少个学生？
含金多少克？
7.一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5。这群羊原来有多少只？