数值分析期末考试
一、 设~若要确保其近似数的相对误差限为0.1%，则它的近x?80，
似数x至少取几位有效数字？（4分）
解：设x有n位有效数字。
因为8?64?80?81?9，所以可得x的第一位有效数字为8（1分） 又因为??111?101?n???10?2，令1?n??2?n?3，可知x至少2?8100010
具有3位有效数字（3分）。
二、求矩阵A的条件数Cond(A)1（4分）。 其中A???1?13? ??24?1???2解：A??? （1分） 1.5?0.5?? A1=7（1分） A?11?（1分）
Cond(A)1?49（1分） 272
三、用列主元Gauss消元法法求解以下方程组（6分）
x1?2x2?3x3??20 ?x1?x2?2x3??8
2x1?4x2?x3?9
419?19??1?23?20??2?24????112?8???032.5?3.5?? ?112?8解：??????????419??2??1?23?20???0?42.5?24.5???2419?1?24?0?42.5?24.5???0?42.5????0035??032.3?3.5??8?9???24,5?(4分) ?175?8???2x1?4x2?x3?9,?等价三角方程组为：??4x2?2.5x3??24.5,（1分）
?35175?x3??,8?8回代得x3??5,x2?3,x1?1（1分）
四、设f(x)?x4?3x3?x2?10,x0?1,x1?3,x2??2,x3?0. 1）求以x0,x1,x2,x3为节2）求以x0,x1,x2,x3为节
3次Lagrange多项式；（6分） 3次Newton多项式；（6分）
3）给出以上插值多项式的插值余项的表达式（3分）
解：由x0?1,x1?3,x2??2,x3?0可得
f(x0)??11,f(x1)??1,f(x2)?34,f(x3)??10
即得： L3(x)?f(x0)(x?x1)(x?x2)(x?x3)(x?x0)(x?x2)(x?x3)?f(x1)?
(x0?x1)(x0?x2)(x0?x3)(x1?x0)(x1?x2)(x1?x3)f(x2)(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x?x0)(x?x1)(x?x2)?f(x3)?
(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3)(x3?x0)(x3?x1)(x3?x2)(x?3)(x?2)(x?0)(x?1)(x?2)(x?0)?(?1)??
(1?3)(1?2)(1?0)(3?1)(3?2)(3?0)?11?34?(x?1)(x?3)(x?0)(x?1)(x?3)(x?2)?(?10)?.??10?6x?6x2?x3(?2?1)(?2?3)(?2?0)(0?1)(0?3)(0?2)
2）计算差商表如下：
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
1 3 -2 0
-11 -1 34 -10
5 -7 -22
4 5
-1
则N3(x)??11?5(x?1)?4(x?1)(x?3)?(x?1)(x?3)(x?2)?
?10?6x?6x2?x3
f(4)(?)(x?x0)(x?x1)(x?x2)(x?x3)?x(x?1)(x?3)(x?2) 3）R3(x)?4!
?1ww??。 3w10五、给定方程组Ax?b，其中A??????w01??试确定w?R的取值范围，使求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。（10分）
?www0解：1）Jacobi迭代格式的特征方程为3w?0?0,即?3?4w2??0,
?求得?1?0,?2?2w,?3??2w
于是当且仅当2w?1?w?时，Jacobi迭代法收敛（5分）
?0w?w2w?3w2?0, ??w2122）Gauss-Seidel迭代格式的特征方程为:0??3w2求得?1?0，?2?0，?3?4w2，于是得w?。
12故当w?时，求解该方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法均收敛。
六、设f(x)?C[a,b]，?a4b12b?a(b?a)2'f(x)dx?[f(a)?f(b)]?[f(a)?f'(b)]
212b求上述求积公式的代数精度，并利用求积公式给出计算?af(x)dx的一个复化求积公式。（12分）
解：1） 当f(x)?1时，左边=b?a=右边
121当f(x)?x2时，左边=(b3?a3)=右边
31当f(x)?x3时，左边=(b4?a4)=右边
41当f(x)?x4时，左边=(b5?a5)?右边
5当f(x)?x时，左边=(b2?a2)=右边
因此，所给求积公式具有3次代数精度。（6分）
2）将[a,b]作n等分，记h?b?a,xi?a?ih,0?i?n. n?baf(x)dx???i?0xi?1in?1xi?1xif(x)dx,（2分）
而?xhh2'f(x)dx?[f(xi)?f(xi?1)]?[f(xi)?f'(xi?1)],
212由此可得复化公式
?bah2'?hf(x)dx???[f(xi)?f(xi?1)]?[f(xi)?f'(xi?1)]
120?2n?1i?1hh2'=?[f(xi?xi?1)]?[f(a)?f'(b)](4分)
1202
七、求f(x)?x在[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。（8分）
解：令所要求的多项式为：p1(x)?a?bx，即取?0(x)?1,?1(x)?x，计算
(?0,?0)?1 (?0,?1)?1122 (?1,?1)? (f,?0)? (f,?1)?(4分) 235732得法方程组：
12?a?b???5 ?2
112?a?b??37?2解方程组得a??p1(x)??436,b?，于是得一次最佳平方逼近多项式为 3535436?x（4分） 3535