八、写出方程的Newton迭代格式，并迭代一次求近似解（6分） (1) (2) 解：（1）
取x0?2，则x1?
（2）f(x)?x2?3x?ex?2,f'(x)?2x?3?ex
则xk?12xk?3xk?exk?2， ?xk?xk2xk?3?e 在x0?2附近的根。
在x0?1附近的根。
17 （3分） 9取x0?1，则x1?
1 （3分） 1?e九、已知三点Gauss公式（10分）
1585 ??1f(x)dx?f(0.6)?f(0)?f(?0.6)，用该公式估算?0.5xdx的
9991值。
?1?a?b?a?4解：令t?ax?b，于是有：?，于是t?4x?3 ???1?0.5a?bb??3??1111t?3dx?dt，于是?xdx??dt（5分） 0.5?1444 令f(t)?1t?3，就得： 44?1?1f(x)dx?585513?6813513?6f(0.6)?f(0)?f(?0.6)??????999944944944（5分）
十、龙格库塔（10分）
取步长h?0.4，写出用经典四阶Runge-Kutta方法求解初值问题
?dy??xsin(x?y)的计算公式。 ?dx??y(1)?0(1?x?9)解：xn?x0?nh?1?0.4n y0?0 （1分）
h?y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?16??k1?f(xn,yn)?hh?（6分） ?k2?f(xn?,yn?k1)22?hh?k?f(x?,y?k2)nn?322???k4?f(xn?h,yn?hk3)取n?0,1,2?,20,，其经典四阶Runge-Kutta计算公式为：
0.4?y?y?(k1?2k2?2k3?k4)n?n?16??k1?(1?0.4n)sin(1?0.4n?yn)??k2?(1.2?0.4n)sin(1.2?0.4n?yn?0.2k1)（3分） ?k?(1.2?0.4n)sin(1.2?0.4n?y?0.2k)n2?3?k4?(1.4?0.4n)sin(1.4?0.4n?yn?0.4k3)??
十一、用乘幂法计算矩阵A按模最大特征值和相应的特征向量。取
（7分） x(0)?(1,1,1)T，迭代两步即可。
??4140?? ?5130其中A???????102??解：y(1)?Ax(0)y(1)y(1)???4140??1??10???1???8? ?(1)?10（3分） ???5130?????????102????1????1??x(1)??(1,0.8,0.1)T
y(2)?Ax(1)??4140??1??7.2???0.8???5.4? ?(2)?7.2 ???5130?????????102????0.1?????0.8???7.2?
1?（4分） 5.4相应特征向量取??7.2????0.8??
十二、设x0,x1,?xn为n?1个互异的节点，li(x)(i?0,1?n)为这组节点上的n次Lagrange插值基函数，证明：?xikli(x)?xk(k?0,1?n)（8分）。
0n
证明：对于k?0,1,?,n，令f(x)?xk，则f(x)的次Lagrange插值多项式为 Ln(x)??xikli(x)（2分）
i?0n相应的余项为Rn(x)?f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(x)(x?x0)?(x?xn)（2分） (n?1)!由于k?n，所以fn?1(x)?0，即Rn(x)?0（2分） 从而得出xk?Ln(x)
即得证?xikli(x)?xk(k?0,1?n)（2分）
0n