2003年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题 (本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结
论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。)
1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是 【答】（ ）
（A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2. 设a,b?R,ab?0,那么直线ax?y?b?0和曲线bx2?ay2?ab的图
形是【答】（ ） y y y y x x x (A) (B) (C) (D) ?23. 过抛物线y?8?x?2?的焦点F作倾斜角为60的直线. 若此直线与抛x 物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ） （A）
168163 (D) 83 (B) (C)3334若x???2??5????,??,则y?tan?x?3?123??????????tanx??cosx??????6?6????的最大值是 【答】（ ） （A）121112122 (B)2 (C) (D) 57565. 已知x,y在区间??2,2?内，且xy??1,则函数u?49?的4?x29?y2最小值是 【答】（ ） （A）
8241212 (B) (C) (D) 51175- 1 -
6. 在四面体ABCD中设AB?1,CD?3，直线AB与CD的距离为2，夹
角
为
?3，则四面体ABCD的体积等于
【答】（ ） （A）
1133 (B) (C) (D)
2323二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将
答案写在横线上。
27．不等式x?2x?4x?3?0的解集是______________
3x2y2??1的两个焦点，P是椭圆上的点，且8．设F1,F2是椭圆94PF1:PF2?2:1，则?PF1F2的面积等于_____________.
9. 已知 A?xx?4x?3?0,x?R,
?2?B?x21?x?a?0,x2?2?a?7?x?5?0,x?R.若A?B，则实数a的
取值范围是_____________.
10. 已知a,b,c,d均为正整数，且logab???35,logcd?,若a?c?9，则24b?d?____________.
11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相
邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．设
_____________??Mn???十进制?n位纯小数0.a1a2???anai只取0或（1i?1,2,???,n?1),an?1?,??
则limTn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，
n??Sn?________ Tn
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三、解答题 （本题满分60分，每小题20分） 13． 设
3?x?5, 证明不等式 2x?1?22x?3?15?x3?2 19.
14．设A,B,C分别是复数Z0?ai,Z1?1?bi,Z2?1?ci（其中a,b,c都是2证明：曲线
实数）对应的不共线的三点.
Z?Z0cos4t?2Z1cos2tsin2t?Z2sin4t(t?R)与?ABC中平行于AC
的中位线只有一个公共点，并求出此点.
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15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当A取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.
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''2003年全国高中数学联赛加试试题
第二试
一、（本题满分50分）
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使?DAQ??PBC. 求证：?DBQ??PAC. 二、（本题满分50分）
设三角形的三边长分别是整数l,m,n,且l?m?n.已知
?3l??3m??3n??4???4???4?,其中?x??x??x?,而?x?表示不超过x的最大整?10??10??10?数. 求这种三角形周长的最小值. 三、（本题满分50分）
由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间四边形，其中
12n?q2?q?1,l?q?q?1??1,q?2,q?N.已知此图中任四点不共面，
2每点至少有一条连线段，存在一点至少有q?2条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）
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