2003年全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题 1 C 提示：
1. 注意到45?2025,46?2116,故a2003?2003?45?2048;
222 B 3 A 4 C 5 D 6 B x2y2??1,观察图形可知； 2. 题设方程可化为y?ax?b和ab3. 易知直线AB的方程为y?3x,因此A,B两点的横坐标满足方程
3x2?8x?16?0,从而弦AB中点的横坐标为x0?4,纵坐标316； 3y0?43,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=
4. 原函数可化为y?????cos?x??,可以证明函数在已知4??6???sin?2x??3??2的区间上为增函数，故当x??5. 消去y之后可得：u?1??3时，y取最大值
113; 6354??37??9x2?2?x??,用基本不等式可求得函数
u的最小值
12; 56. 可用等积法求得，过程略。
二、填空题 7. ??3,????5?1??5?1????,3????. 提示： 原不等式可以化2??2?为:?|x|?3?x?|x|?1?0
2?? - 6 -
8. 4 ?PF1F2是直角三角形，故?PF1F2的面积为
S?11|PF1|?|PF2|??2?4?4; 22
9. ?4?a??1
提示：A??1,3?,令f?x??21?x?a,g?x??x2?2?a?7?x?5,则只
?f?1??0?f?3??0?需f?x?,g?x?在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是?,
???g1?0??g?3??0由此推出?4?a??1;
?b??d?10．93 提示： 由已知得a?b,c?d,a???,c???,又
?a??c??bd2??bd2??b??d?a?c?9，故????????a?c2????a?c2???9ac????????24325424,推得
?bd2?2?9?a?25,c?16?ac,; ?2b?125,d?32?b?d?1??ac211．48+2
提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2,OM?OA?2 ,MN?2?1 ,求得
A1M?12
?A1N?2??MN?2．
?48 ,故所求的高为 48+2 ；
提
示
：
118
- 7 -
Tn?2n?1,Sn?
三、解答题 13
1n?1?111?1?2??2???n?1??2n?1?n 210?10?1010证明：由
(a?b?c?d)2?a2?b2?c2?d2?2?ab?bc?cd?da?ac?bd?可
得
a?b?c?d?2a2?b2?c2?d2,当且仅当a=b=c=d时取等号 …
5分
则
2x?1?2x?3?15?3x?2?x?1???x?1???2x?3???15?3x?
?2x?14?219 ……………………………………………15分 因为x?1,2x?3,15?3x不能同时相等，所以
2x?1?2x?3?15?3x?219 ……………………………20分
14．设z?x?yi?x,y?R?,则代入并由复数相等可得
2??x?sint?22??y?a?1?x??2b?1?x?x?cx?0?x?1?即
y??a?c?2b?x2?2?b?a?x?a因为A,B,C不共线 ，所以
a?c?2b?0,可见所给曲线是抛物线段（图略）…5分
AB,BC的中点分别是D???1a?b??3b?c??,,E?,?,；所以DE的方程为 ?2?2??4?4y??c?a?x?1?3a?2b?c? …………………………10分 4211??联立两式得?a?c?2b??x???0,得 x?,注意到
22?? - 8 -
113??,所以抛物线与?ABC中平行于AC的中位线DE有且只有一个424公共点，此点的坐标为?,?1a?c?2b??,相应的复数为4?2?z?1a?c?2b?i …………………………………………………15分 2415．如图建立直角坐标系，设A1?Rcos?,Rsin??,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1| ……5分
代入推得2R?xcos??ysin???R2?a2?2ax ………10分 可得sin??????R2?a2?2ax2Rx?y. 所以
22,其中sin??xx?y22,
cos??yx?y2R2?a2?2ax2Rx?y2222?1 …………15分
平方后可化为
a??x???y22????1 222?R??R??a????????2???2??2?a???x??y22??所求点的集合为椭圆??1外（含边界）部222?R??R??a?????????2??2??2?分。…………20分
2 - 9 -