备战2018高考数学黄金解题模板 数列求和方法
【高考地位】
数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】
方法一 公式法
解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n项和公式求和结果
例1.设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7?7，S15?75，Tn为数列{和，求Tn．
Sn}的前n项n
【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：
等差数列前n项和公式： Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d． 22?na1(q?1)?等比数列前n项和公式：Sn??a1(1?qn)a1?anq ．
?(q?1)?1?q1?q?自然数方幂和公式：1?2?3?????n?1n(n?1) 2112?22?32?????n2?n(n?1)(2n?1)
6113?23?33?????n3?[n(n?1)]2
2【变式演练1】已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B
考点：等差数列通项公式及求和
方法二 分组法
解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；
第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；
第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和.
例2. 已知数列{an}是3＋2－1,6＋2－1,9＋2－1,12＋2－1，?，写出数列{an}的通项公式并求其前n项 2
3
4
Sn.
【变式演练2】在已知数列a1?1， a2?2，且an?2?an?2?2??1?， n?N*，则S2017的值为（ ） A. 2016?1010?1 B. 1009?2017 C. 2017?1010?1 D. 1009?2016 【来源】【全国百强校】河北省2017届衡水中学押题卷理数 II卷 【答案】C
【解析】由递推公式可得：
当n 为奇数时， an?2?an?4 ，数列?a2n?1? 是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时， an?2?an?0 ，数列?a2n?1? 是首项为2，公差为0的等差数列，
nS2017??a1?a3???a2017???a2?a4???a2016?1?1009??1009?1008?4?1008?2
2?2017?1010?1.本题选择C选项.
【方法点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
?bn，n为奇数，?
(2)通项公式为an＝?
??cn，n为偶数
的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求
和法求和.
【变式演练3】已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2?3，b3?9，a1?b1，a14?b4． （1）求{an}的通项公式；
（2）设cn?an?bn，求数列{cn}的前n项和．
3n?1【答案】（1）an?2n?1(n?1,2,3,?)；（2）n?．
22考点：1、等差数列；2、等比数列．
方法三 裂项相消法
解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；
第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 例3. 已知数列?an?:
11212312391????,?,若bn?,?,??,?, ，那么数列
23344410101010an?an?1?bn?的前n项和Sn为（ ）
A．
n4n3n5n B． C. D． n?1n?1n?1n?1【答案】B
【变式演练4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{
1}的前100项和为（ ）
an.an?1A．
1009999101 B． C． D． 101100100101【答案】A 【解析】
试题分析：由a5=5，S5=15，可知a1?1,d?1 ?an?n?1111??? anan?1n?n?1?nn?11?1100?1??11??1 ?S100??1????????????1???101101?2??23??100101?考点：数列求和
方法四 错位相减法
解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式；
第三步 构差式：即写出Sn的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；
第四步 求和：根据差式的特征准确求和.