例4. 已知数列?an?2an2n满足a1?1， an?1?.记Cn?，则数列?Cn?的前n项和
an?2anC1?C2?...?Cn?__________．
【答案】n?2n
【变式演练5】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn?2n?1?2（n?N*）. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ) 令bn?nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（Ⅰ）an?2；（Ⅱ）Tn?(n?1)2nn?1?2.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)，bn?nan?n?2n. 则Tn?1?21?2?22???n?2n， 所以2Tn?1?22?2?23???n?2n?1， 则?Tn?2?2???2?n?2所以Tn?(n?1)2n?1?2
考点：1、数列的通项公式；2、数列求和.
【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.
【变式演练6】已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且S3?9，a1,a3,a7成等比数列. （1）求数列?an?的通项公式；
（2）若数列?an?的公差不为0，数列?bn?满足bn?(an?1)2，求数列?bn?的前n项和Tn.
n2nn?12(1?2n)??n?2n?1?(1?n)2n?1?2.
1?2【答案】（1）an?n?1；（2）Tn?(n?1)?2【解析】
n?1?2.
试题分析：（1）由题意可知，利用S3?9，a1,a3,a7成等比数列，从而可求出数列?an?的通项公式，数列?bn?
考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.
方法五 倒序相加法
例5.函数
ex?1?1??2??3??2n?1?*，则数列?an?f?x??x,g?x??f?x?1??1,an?g???g???g?????g?,n?N?e?1?n??n??n??n?的通项公式为__________． 【答案】an?2n?1
e?x?11?exex?1???f?x?，函数f?x??x【解析】由f??x???x为奇函数， xe?11?ee?1g?x??g?2?x??f?x?1??1?f?2?x?1??1?f?x?1??f?1?x??2，
ex?1由f?x??x为奇函数， ?f?x?1??f?1?x??0， ?g?x??g?2?x??2，
e?1∵an?g??1??2??3??2n?1?*?g?g???g???????,n?N，① ?n??n??n??n?考点：倒序相加法求和.
3x?21,(x?). 2x?12122009)?F()???F()的值； （1）求F(201020102010【变式演练7】已知函数F(x)??1?（2）已知数列{an}满足a1?2,an?1?F(an),求证数列??是等差数列；
a?1?n?2n?1，求数列{anbn}的前n项和Sn. 2n60272?n【答案】(1) S=. (2)见解析；（3）Sn=4?n?1。
22
（3）已知bn?(2)由an?1?F?an?两边同减去1,得an?1?1?3an?2a?1a?1?n2 n?12an?1.
所以
1an?12?an?1?1?2a1?an?1??1a?2?1, n?n?1an?1所以
11a??2,??1??是以2为公差以
1?1为首项的等差数列. n?1?1an?1?an?1?a1?1（3）因为
1a?2??n?1??2?2n?1?a1n?1??2n n?12n?12n?1.
１０分