淮北市2015届高三第一次模拟考试 数学试题 （理科） 2015.1.24
考生注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓
名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。
2. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。
3．考生务必在答题卷上答题，考试结束后交回答题卷。
第I卷 (选择题 共50分)
一．选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分） 1.已知x,y?R,i为虚数单位，且(x?2)i?y?1?i，则(1?i)x?y的值为（ ）。
A．4 B． ?4 C． 4?4i D．2i 2.已知X?logmn，则mn?1是X?1的（ ）。 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ） A.
2 B.
2?133 C. 1 D. 2411,ak?，则该数列前mk项km4. 等差数列?an?有两项am和ak(m?k)，满足am?之和为 ( )
mkmkmk?1mk?1 B ?1 C D 22225.下列命题正确的是（ ）
A.
A.函数y?sin(2x??3)在区间(???,)内单调递增 36B.函数y?cos4x?sin4x的最小正周期为2? C.函数y?cos(x??)的图像是关于点(,0)成中心对称的图形
63? 1 / 11
D.函数y?tan(x??3)的图像是关于直线x??6成轴对称的图形
?x?2y?0?6.已知实数x，y满足?x?y?0,设m?x?y，若m的最大值为6，则m的最小
?0?y?k?值为（ ）
A．—3
B．—2
C．—1
D．0
7. 某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（ ） A．34种
B．48种 C．96种 D．144种
8. 若函数f(x)的导函数是f?(x)?x2?4x?3，则函数g(x)?f(ax) (0
调递减区间是( )
A、 ?loga3,0?，?1,??? B、???,loga3?,D、?loga3,1?
9. 若对任意x??0,5?，不等式1?A． m?m2nx??1?x恒成立，则一定有（ ） 454?x[0,??) C、a3,a
??1111,n?? B．m??,n??
23231111C．m??,n? D．m??,n??
232310.已知?ABC的外接圆的圆心为O,满足：CO?mCA?nCB,4m?3n?2，且
CA?43，CB?6,则CA?CB?( )
A. 36 B. 24 C. 243 D. 123 二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值 为
1??12. 在?2x2??的二项展开式中，x的系数为 5x??5 2 / 11
m2n2(m?n)213．已知m,n?R,m?n,x,y?(0,??)，则有，且当??xyx?y?43mn?利用此结论，可求函数f(x)?，x?(0,1)?时等号成立，
3x1?xxy的最小值为
14. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1
的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是 。
x2y25?115. 称离心率为e?的双曲线2?2?1(a?0,b?0)为黄金双曲线．如图
ab2x2y2是双曲线2?2?1(a?0,b?0,c?a2?b2)的图象，给出以下几个说法：
ab
①双曲线x?22y25?1?1是黄金双曲线；
②若b2?ac，则该双曲线是黄金双曲线；
③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b）， B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°，则该双 曲线是黄金双曲线．
其中正确命题的序号为
三、解答题（共75分，请写出详细解答过程） 16. （本题满分12分） 已知函数f(x)=sin（2x+ （1）求函数f(x)的单调递增区间。
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=a=2，B=
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?）+ cos 2x． 63，2?，求△ABC的面积． 3
17.（本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.
(1)求证：平面MOE∥平面PAC； (2)求证：平面PAC⊥平面PCB；
(3)设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．
18. （本题满分12分）
近年来空气污染是一个生活中重要的话题， PM2．5就是其中一个指标。PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．
淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示． （1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的
概率；
（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均
未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；
（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记?表示抽到PM2.5监测数
据超标的天数，求?的分布列及期望．
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x2y219. （本题满分12分）已知椭圆C：2?2?1(a>b>0)的上顶点为A，左，右焦
ab4b
点分别为F1，F2,且椭圆C过点P(3，3)，以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定
y 点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐标；若不存A 在，请说明理由.
20. （本题满分13分）
已知数列{an}满足a1?1,an?1?2an?(?1)n(n?N*).
1（1）若bn?a2n?1?，求证：数列{bn}是等比数列并求其通项公式；
3(第19题图) P F1O F2 x （2）求数列{an}的通项公式； （3）求证：
21. （本题满分14分）已知函数g?x??（1）求函数g?x?的单调区间；
（2）若函数f?x?在?1,???上是减函数，求实数a的最小值；
2?e,e（3）若?x1,x2????，使f?x1??f??x2??a成立，求实数a的取值范围.
11++…+1?3. a1a2anx,f?x??g?x??ax. lnx
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参考答案：
一、选择题： 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 B 10 A 二、填空题： 11、4 12、?①②③④ 三、解答题：
8257 13、 14、 15、2536?16、（1）解：f(x)?sin(2x?)?cos2x
6?? =sin2xcos?cos2xsin?cos2x
66 =
3313sin2x?cos2x=3(sin2x?cos2x) 2222? =3sin(2x?) …………………………3分
3??? 令??2k??2x???2k?
2325????k??x????k，k?Z ??12312 f(x)[?的单调递增区间为：
5???k?,?k?],k?Z0…………………………6分 1212（2）由f(A)?3?1,sin(2A?)?， 2322???5?,?2A??, 3333?5?? 因此2A??，解得：A? …………………8分
364aB? 由正弦定理，得b?6， sinAsinB 又0?A? 又由A??4,B??3可得：sinC?6?2 …………………10分 413?3 故 S?ABC?absinC? ……………………12分
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