上海市高考数学最后冲刺模拟卷（理一） 《试题与研究》编辑部提供 一、填空题(本大题满分56分) 卜照泽 2016.5.18
1.函数y?log0.5x的定义域为 ?0,1? 。
2222.已知M?yy?x,x?R，N?xx?y?2,x,y?R,则M?N? 0,2 。
??????（1?)(x?1)的展开式中x2项的系数为 10 ． 3.在
4．已知地球的半径为R，在北纬45?东经30?有一座城市A，在北纬45?西经60?有一座城市B，则坐飞机从城市A飞到B的最短距离是
1x4?3R ．(飞机的飞行高度忽略不计)
5.已知一随机变量?的分布列如下表，则随机变量?的方差D?? 11 . ? P(?) 0 4 8 1 41 41 2 ?)， B(2， )，C为曲线??2cos?的对称中心，6．在极坐标系中，点A(2，则三角形ABC2面积等于 3 ．
7.高三(1)班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示) 8.在复数范围内，若方程2012x?6x?9?0的一个根为?，则?= 9.将f(x)=2?31 353503 1006?3sinx的图像按n?(?a， 0)(a?0)平移，所得图像对应的函数为偶函数，
1cosx56则a的最小值为 .?
10.已知y?f(x)是定义在R上的增函数，且y?f(x)的图像关于点(6,0)对称．若实数
x,y满足不等式f(x2?6x)?f(y2?8y?36)?0，则x2?y2的取值范围是 [16,36]．
11.函数f(x)对任意x1,x2??m,n?都有f1(x)?f2(x)?x1?x2，则称f(x)为在区间
?m,n?上的可控函数，区间?m,n?称为函数
f(x)的“可控”区间，写出函数
?1?f(x)?2x2?x?1的一个“可控”区间是 （??,0?的子集都可以）
?2?x2y2B，??1?a?0?的左焦点为F，12.椭圆直线x?m与椭圆相交于点A、当?FAB
4a23a22的周长最大时，?FAB的面积是____________3a．
， (?1.2]??2，有下列命题：①若函数13.用符号(x]表示小于x的最大整数，如(?]?31f(x)?(x]?x， x?R，则f(x)的值域为[?1， 0)；②若x?(1， 4)，则方程x?(x]?有
557 y?{，， 3 }，三个根；③若数列{an}是等差数列，则数列{(an]}也是等差数列；④若x，32 1 / 7
2.则所有正确命题的序号是 ①②④ . 914. 设f(x)?cosax?bx?2cx(x?R)，a，， b c?R且为常数。若存在一公差大于0的等差数列{xn}(n?N?)，使得{f(xn)}为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组
则(x]?(y]?2的概率为P?a，， b c的值 (答案不唯一，一组即可)a?0， b?0， c?0 . 二、选择题：(本大题满分20分)
??15.若直线l的一个法向量n?(3， 1)，则直线l的一个方向向量d和倾斜角?分别为( )D
????A.d?(1， 3)；??arctan3 B.d?(1， ?3)；??arctan(?3) ????C.d?(1， 3)；????arctan3 D.d?(1， ?3)；????arctan3 16.在△ABC中，“cosA?cosB?cosC?0”是“△ABC为钝角三角形”的( )A
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件
17. 定义域是一切实数的函数y?f?x?，其图像是连续不断的，且存在常数?(??R)使得f(x??)??f(x)?0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“?—伴随函数”． 有下列关于“?—伴随函数”的结论：①f(x)?0是常数函数中唯一一个“?—伴随函数”； ②“
1—伴随函数”至少有一个零点．；③f(x)?x2是一个“?—伴随函数”；其中正确结2论的个数是 ( ) A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
18.已知数据x1， x2， x3， ?， xn是上海普通职工n(n?3， n?N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn?1，则这n?1个数据中，下列说法正确的是( )B
A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。
三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：
19.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)
0在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?1，?BAC?90，且异面直线A1B与B1C1所0A1 成的角等于60，设AA1?a. C1 (1)求a的值； B1 (2)求直线B1C1到平面A1BC的距离。
??A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即?A1BC?60， ??????(2分)
?解：(1)?BC//B1C1，
A B C ??A1BC为等边三角形， ??????(4分)
?由AB?AC?1，?BAC?90?BC?又连接A1C，AB?AC，则A1B?A1C
2，
?A1B?2?1?a2?2?a?1。????(6分)
(2)易知B1C1//平面A1BC，又D是B1C1上的任意一点，
所以点D到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离.?(8分) 设其为d，连接B1C，
2 / 7
则由三棱锥B1?A1BC的体积等于三棱锥C?A1B1B的体积，求d，
133，?A1BC的面积S??，???(10分) ?(2)2?242又CA?A1A,CA?AB,?CA?平面A1B1C，
?A1B1B的面积S?所以
1133，即B1C1到平面A1BC的距离等于。?(12分) ?S?AC??S??d?d?333320.(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)
某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群。以A、B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。
(1)求曲线C的标准方程；
(2)某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A、B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5:3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？
解(1)由题意知曲线C是以A、B为焦点且长轴长为8的椭圆 又2c?4，则c?2,a?4，故b?23，所以曲线C的
yx2y2??1 方程是
1612(2)由于A、B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5:3， 因此设此时距A、B两岛的距离分别比为5:3
即鱼群分别距A、B两岛的距离为5海里和3海里。
22设P(x,y)，B(2,0)，由PB?3 ?(x?2)?y?3，
A?O?Bx??x?2?2?y2?9?2y2?x，解得x?2,y??3，?点P的坐标为?2,3?或?2,?3? ?1???1612??4?x?4?21.(本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分) 设函数fn(x)?xn?bx?c(n?N?,b,c?R).
12（2）设n?2，若对任意x1,x2???1,1?，有f2(x1)?f2(x2)?4，求b的取值范围．
（1）设n?2,b?1,c??1，证明：fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点； 解：（1）证明：因为 fn(111)<0，fn(1)>0。所以fn()?fn(1)<0。所以fn(x)在(，1)内2221nn存在零点。任取x1、x2?(,1),且x1 2111)内单调递增，所以fn(x)在(，1)内存在唯一零点。 以fn(x)在(，22（2）当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c. 对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4，据此分类讨论如下： ①当||?1，即|b|＞2时，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾。 b2 3 / 7 bbb2 ＜0，即0＜b≤2时，M＝f2(1)－f2(?)＝(＋1)≤4恒成立． 222bbb2 ③当0≤?≤1，即－2≤b≤0时，M＝f2(－1)－f2(?)＝(－1)≤4恒成立． 222②当－1≤?综上可知，－2≤b≤2. 注：②，③也可合并证明如下： 用max{a，b}表示a，b中的较大者． bb≤1，即－2≤b≤2时，M＝max{f2(1)，f2(－1)}－f2(?) 22f2(?1)?f2(1)|f2(?1)?f2(1)|bb2??f2(?)＝1＋c＋|b|－(?＋c) ＝ 2224|b|2 ＝(1＋)≤4恒成立． 2当－1≤?22.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，) 一青蛙从点A0(x0,y0)开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是 ?， y0)坐标以已知条件为准)，Sn表示青蛙从点A0到Ai(x， y)(?iN)(如图所示，A0(x0，iiy 点An所经过的路程。 … (1) 若点A0(x0， y0)为抛物线y2?2px(p?0)准线上 一点，点A1，A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经 过该抛物线的焦点，证明S2?3p. (2)若点An(xn， yn)要么落在y?x所表示的曲线上， A 2 A0 A1 O A4 A3 11 ), 要么落在y?x2所表示的曲线上，并且A0(，22试写出limSn（不需证明）； n???x (3)若点An(xn， yn)要么落在y?21?8x?1所表示的曲线上，要么落在y?21?8x?1所表示的曲 线上，并且A0(0， 4)，求Sn的表达式. p， y0)，由于青蛙依次向右向上跳动， 2pp y0)，A2(， ?y0)，由抛物线定义知：S2?3p ?4分 所以A1(，22 x2n?x2n?1， y2n?y2n?1?x2n?1(n?N*) (2) 依题意，x2n?1?x2n?1，解：(1)设A0(?limSn?|A0A1|?|A1A2|?|A2A3|?|A3A4|???|A2n?2A2n?1|?|A2n?1A2n|?? n???(x1?x0)?(y2?y1)?(x3?x2)?(y4?y3)?(x5?x4)???(x2n?1?x2n)?(y2n?y2n?1)???2(x1?x0)?2(x3?x2)?2(x5?x4)???2(x2n?1?x2n)?? ， 1) ?6分 随着n的增大，点An无限接近点(11111横向路程之和无限接近1??，纵向路程之和无限接近1?? ?8分 222211所以 limSn=??1 ?10分 n???22(3)方法一：设点A2k(x2k， y2k)， A2k?1(x2k?1， y2k?1)，由题意，An的坐标满足如下递推关系： 1，，， 2 3 ?)， x2k?1?x2k?2(k?0， 1，，， 2 3 ?) x0?0， y0?22，且y2k?1?y2k(k?0， 4 / 7 1?8x2k?1?11?8x2k?1其中y2k?1?2∴21?8x2k?1?1， y2k?2?2 ?13分 ?21?8x2k?2?11?8x2k?1，即1?8x2k?2?1?8x2k?2， ∴{1?8x2k}是以1?8x0?1为首项，2为公差的等差数列， 4k2?4k∴1?8x2k?1?2k?x2k?， 8n2n?，于是yn?21?8xn?1?2n?2， 所以当n为偶数时，xn?844(k?1)2?4(k?1)又x2k?1?x2k?2? 8n2?4n?31?8xn?1， yn?2?2n?1 ?16分 ∴当n为奇数时，xn?8当n为偶数时， |A0A1|?|A1A2|?|A2A3|?|A3A4|???|A2k?2A2k?1|?|A2k?1A2k| ?(x1?x0)?(y2?y1)?(x3?x2)?(y4?y3)?(x5?x4)???(x2k?1?x2k?2)?(y2k?y2k?1) ?(x1?x0)?(y2?y0)?(x3?x1)?(y4?y2)?(x5?x3)???(x2k?1?x2k?3)?(y2k?y2k?2)?(x2k?y2k)?(x0?y0) 当n为奇数时， |A0A1|?|A1A2|?|A2A3|?|A3A4|???|A2k?2A2k?1|?|A2kA2k?1| ?(x1?x0)?(y2?y1)?(x3?x2)?(y4?y3)?(x5?x4)???(y2k?y2k?1)?(x2k?1?x2k) ?(x1?x0)?(y2?y0)?(x3?x1)?(y4?y2)?(x5?x3)???(y2k?1?y2k)?(x2k?1?x2k?1)?(x2k?1?y2k?1)?(x0?y0) n2nn?2所以，当n为偶数时，Sn?(xn?yn)?(x0?y0)?(??2)?4 84n2?4n?3n?1?2)?4 当n为奇数时，Sn?(xn?yn)?(x0?y0)?(8?n2?4n?3n?1(?2)?4(n为奇数）??8所以，Sn?? ?18分 2?(n?n?2n?2)?4(n为偶数）??84244668方法二：由题意知A(1， 2)，A(1， 2)，A(3， 2)，A(3， 2)，A(6， 2)，A(6， 2)，? 123456其中A， 22)，A3(3， 24)，A5(6， 26)，A7(10， 28)，? 1(1A2(1， 24)，A4(3， 26)，A6(6， 28)，A8(10， 210)? 观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2，公比为4的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。 ?12分 2n2n?， yn?2n?2 所以，当n为偶数时， xn?84n2?4n?3， yn?2n?1 当n为奇数时，xn?8 5 / 7