苏北四市（连云港、徐州、淮安、宿迁）2011届高三年级第三次调研考试
数 学 试 题 2011年3月31日
试卷 Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.若
a?i1?i（i是虚数单位）是是实数，则实数a的值是 .
2.已知集合A??xx?1?,B?xx2?2x?0,则A?B? .
3.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，从该校200名授课教师中随机抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在?15,30?内的人数为 .
4.在如图所示的流程图中，输出的结果是 .
5.若以连续掷两次骰子得到的点数m,n分别为点P的横、纵坐标，则点P在圆x?y?16内的概率为 . ?0?x?1?226.在约束条件?0?y?2下，则(x?1)?y的最小值为 . ?2y?x?1?22??开始 a?5,s?1 s?s?a a?a?1 7.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的一个定点，从P在摩天轮最低点好似开始计时，则16分钟后
P点距地面的高度为 . a?3 Y N 输出s 8.已知集合A?(x,y)x?y?1,B?(x,y)x?y?rr?0,若点(x,y)?A是点(x,y)?B的必要条件，则r的最大值是 .
???222?结束 9.已知点A(0,2),抛物线y?2px(p?0)的焦点为F,准线为l，线段FA交抛物线与点B,过B作l的垂线，垂足为M,若AM?MF,则p? .
2C1x??2,x?010.若函数f(x)??,则函数y?f(f(x))的值域是 .
?x???2,x?0B1A111.如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC,AC?4,BC?CC1?2,若用平行于三棱柱ABC?A1B1C1的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为 .
CBA12.已知椭圆
x24?y22?1,A,B是其左、右顶点，动点M满足MB?AB,连接AM交椭圆于点P，在x轴上
有异于点A,B的定点Q,以MP为直径的圆经过直线BP,MQ的交点，则点Q的坐标为 .
13.在?ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交AB,AC于M,N两点，设AM?xAB,AN?yAC(xy?0)，则4x?y的最小值是 .
14.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 .
二、解答题：本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.如图，在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为?AOB??,??(3?4，OB?2设
?3?2,4).
(1)用?表示OA; (2)求OA?OB的最小值.
E、F、16.如图，已知四面ABCD的四个面均为锐角三角形，H分别为边AB,BC,CD,DA上的点，G、BD//平面EFGH,且EF?FG.
(1)求证：HG//平面ABC;
(2)请在面ABD内过点E作一条线段垂直于AC,并给出证明.
EAHBFGDC17.如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切与点(0,1)，且被x轴分成的两段弧之长比为2:1，过点H(0,t)的直线l与圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O. (1)求圆C的方程；
(2)当t?1时，求出直线l的方程； (3)求直线OM的斜率k的取值范围.
18.心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1?4x?4；若在t(t?4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略
a(t?4)2不计），其后存储量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为
(a?0),存留量随时间变化的曲
线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时此刻为“二次复习最佳时机点”.
（1）若a??1,t?5，求“二次最佳时机点”；
（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围.
y(存储量) t x(天)
19.已知各项均为正数的等差数列?an?的公差d不等于0，设a1,a3,ak是公比q的等比数列?bn?的前三项. (1)若k?7,a1?2.
（ⅰ）求数列?anbn?的前n项和Tn；
（ⅱ）将数列?an?中与?bn?相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列?cn?，设其前n项和为Sn，求S2n?n?1?22n?1?3?2n?1(n?2,n?N)的值；
?（2）若存在m?k,m?N?使得a1,a3,ak,am成等比数列，求证：k为奇数.
20. 已知波函数f(x)?ax?lnx,f1(x)?216x?243x?59lnx,f2(x)?12x?2ax,a?R.
2(1) 求证：函数f(x)在点(e,f(e))处的切线恒过定点，并求出定点坐标； (2) 若f(x)?f2(x)在区间(1,??)上恒成立，求a的取值范围； (3) 当a?
23时，求证：在区间(1,??)上，满足f1(x)?g(x)?f2(x)恒成立的函数g(x)有无穷多个.
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数 学 试 题 试卷 Ⅱ
21.【选做题】在下面A,B,C,D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分. A.选修4—1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A,过A作AP?OM于P. (1) 求证：OM?OP?OA2;
(2) N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON,且交圆O于B点.
过B点的切线交直线ON于K,求证：?OKM?90?.
B.选修4—2：矩阵与变换
?1b??2?已知矩阵M?? ?有特征值?1?4及对应的一个特征向量e1???.
?c2??3?BAKNOPM（1）求矩阵M;
（2）求曲线5x2?8xy?4y2?1在M的作用下的新曲线方程.
C.选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为
??sin(??)?32.
4（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程； （2）已知P为椭圆C:x216?y29?1上一点，求P到直线l的距离的最大值.
D.选修4—5：不等式选讲
设x,y,z为正数，求证：2(x?y?z)?x(y?z)?y(x?z)?z(x?y).
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