数学附加题答案与评分标准
21．A选修4-l：几何证明选讲
证明：（1）因为MA是圆O的切线，所以OA?AM，
又因为AP?OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2?OM?OP．????4分 （2）因为BK是圆O的切线，BN?OK，同（1），有OB2?ON?OK， 又OB?OA，所以OP?OM?ON?OK，即
ONOP?OMOK，又∠NOP?∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM?∠OPN?90?． ??????????10分 B．选修4—2 矩阵与变换 ?1解：（1）由已知??cb??2??8???3???12?，即2?3b?8,2c?6?12，b?2,c?3， 2???????32?; ??????????4分 2??///1所以M???x/??1（2）设曲线上任一点P(x,y)，P在M作用下对应点P(x,y)，则?/???3?y??2??x?
2????y??//?y?x/?x?x?x?2y22222即/，解之得??1得x??y??2， //，代入5x?8xy?4yy?3x?2y3x?y?y??4?即曲线5x?8xy?4y?1在M的作用下的新曲线的方程是x?y?2．???10分
C．选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）直线l的极坐标方程?sin???????22?sin???cos??32， ??32，则4?222222 即?sin???cos??6，所以直线l的直角坐标方程为x?y?6?0； ?????4分 （2）P为椭圆C:x216?y29?1上一点，设P(4cos?,3sin?)，其中??[0,2?)， |4cos??3sin??6|2?|5cos(???)?6|2 则P到直线l的距离d?，其中cos??45
所以当cos(???)?1时，d的最大值为D．选修4－5：不等式选讲 因为x2?y2?2xy?0，
1122 ????????????10分
所以x3?y3??x?y??x2?xy?y2??xy?x?y?， ????????????4分 同理y3?z3?yz?y?z?,z3?x3?zx?z?x?
三式相加即可得2?x3?y3?z3??xy?x?y??yz?y?z??zx?z?x? 又因为xy?x?y??yz?y?z??zx?z?x??x2?y?z??y2?x?z??z2?x?y?
所以2?x3?y3?z3??x2?y?z??y2?x?z??z2?x?y? ??????10分 22．解：（1）建立如图所示直角坐标系，
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(0,1,1), P(,0,1),M(0,1,),
221111N(,,0),NP?(0,?,1),AM?(0,1,), 222211因为PN?AM?0?0?1??(?1)??0,
22所以PN?AM． ??????4分 ???（2）设平面PMN的一个法向量为n1?(x1,y1,z1), ?????????1111NP?(0,?,1),NM?(?,,),
2222????????????n1?NP?0?则???????????????n1?NM?0??1212y1?z1?0,x1?12y1?1211z P B1 A B N A1 C1 M C y x
z1?0.令y1?2，得z1?1，x1?3
所以n1?(3,2,1)． ???????????????????6分
????1又MB?(1,?1,?)，
21???????n?MB142?1??????所以sin????． ????????10分 ?342|n1|?|MB|?142???23．证明：⑴因为an?1，an?1?4an?3an 所以an?1?4an?1?3an?1?an(4an3323?3)?1． ????????2分
2⑵① 假设a1?1，则a2?4a1?3a1?a1(4a1?3)?1 若ak?1，则ak?1?4ak?1?3ak?1?ak(4ak32?3)?1．
所以当|a1|?1时，有|an|?1(n?N*)，这与已知am?1矛盾，
所以a1?1. ?????????????????????6分 ②由①可知，存在?，使得a1?cos?． 则a2?4cos??3cos??cos3?
3假设 n?k时，有an?cos3则ak?1?4a?3ak?4?cos33kn?1?即ak?cos3k?1?
kk?1???3?cos3?，
3k?1???cos3?
所以对任意n?N*,an?cos3则am?cos3m?1n?1?=1，3m?1??2k?，其中k?Z
即??2k?3m?1， 所以a2k?1?cos3m?1 (其中k为整数). 10分
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