青岛市高三统一质量检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：球的表面积为：S?4?R,其中R为球的半径．
2
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2i的实部为 1?iA．2 B．?2 C．1 D．?1
1. i是虚数单位，复数
22. 设全集U?R，集合M?x|y?lg(x?1)，N??x|0?x?2?，则N?(eUM)?
??A．?x|?2?x?1? B．?x|0?x?1? C．?x|?1?x?1? D．?x|x?1? 3. 下列函数中周期为?且为偶函数的是 A．y?sin(2x??2) B. y?cos(2x??2) C. y?sin(x??2) D．y?cos(x??2)
4. 设Sn是等差数列?an?的前n项和，a1?2,a5?3a3,则S9? A．90 B．54
C．?54 D．?72
5. 已知m、n为两条不同的直线，?、?为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若l?m,l?n,且m,n??,则l??
B．若平面?内有不共线的三点到平面?的距离相等，则
正视图
左视图
- 1 - 俯视图
?//?
C．若m??,m?n，则n//? D．若m//n,n??，则m??
6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是
A．16? B．14? C．12? D．8?
PA?l，7. 已知抛物线y2?4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，
垂足为A，PF?4，则直线AF的倾斜角等于
2?3?5? C． D. 346???????????8. 若两个非零向量a，b满足|a?b|?|a?b|?2|a|，则向量a?b与b?a的夹角为
A．
B.
7? 125???2? B． C． D．
6633?x, x?09. 已知函数f(x)??2，若函数g(x)?f(x)?m有三个不同的零点，则实数m的
x?x, x?0?A．取值范围为 A．[?1111,1] B．[?,1) C．(?,0) D．(?,0] 22441xn210. 已知f(x)?|x?2|?|x?4|的最小值为n，则二项式(x?)展开式中x项的系数为
A．15 B．?15 C．30 D．?30
11. 已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4?x)，且当x?2时其导函数
f?(x)满足xf?(x)?2f?(x),若2?a?4则
A．f(2)?f(3)?f(log2a) C．f(log2a)?f(3)?f(2)
aaB．f(3)?f(log2a)?f(2) D．f(log2a)?f(2)?f(3)
aab?a，多个区间并集的长度12. 定义区间(a, b)，[a, b)，(a, b]，[a, b]的长度均为d?为各区间长度之和，例如, (的长度d. 用[x]表示不超过1, 2)?[3, 5)?(2?1)(?5?3)3?x的最大整数，记{}，其中x?R.设f，gx，当0?x?kx?x?[x]()x?[]x?{x}()?x?1
- 2 -
时,不等式f(x)?gx()解集区间的长度为5，则k的值为 A．6 B．7 C．8 D．9网
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 某程序框图如右图所示，若a?3,则该程序运行后，输出的x值为 ; 14. 若
开始 1(2x?)dx?3?ln2(a?1)，则a的值 ? 1x an?1,x?a是 ;
22?x?y?4?15. 已知x,y满足约束条件?x?y?2?0,则目标函数
?y?0?z?2x?y的最大值是 ;
16．给出以下命题： ① 双曲线
n?n?1n?3否 输出 x是 x?2x?1y?x2?1的渐近线方程为y??2x； 21?2”是真命题； sinx2结束 +② 命题p:“?x?R，sinx???3?2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位； ③ 已知线性回归方程为y④ 设随机变量?服从正态分布N(0,1)，若P(??1)?0.2，则P(?1???0)?0.6； ⑤ 已知
26537110?2??2，??2，??2，??2，2?46?45?43?47?41?410?4?2?4依照以上各式的规律，得到一般性的等式为
n8?n??2，（n?4） n?4(8?n)?4则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?sin?x (??0)在区间[0,??2?]上单调递增,在区间[,]上单调递减;如图,333四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足
4??cosB?cosCsinB?sinC. ?3sinAcosAB- 3 - C O?A（Ⅰ）证明：b?c?2a；
（Ⅱ）若b?c，设?AOB??，(0????),OA?2OB?2， 求四边形OACB面积的最大值. 18．（本小题满分12分）
现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,1?n?9），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当n?3时,记事件A?{抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P(A)； （Ⅱ）当n?2时,若用?表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求?的分布列； ②令????2????1，E(?)?1，求实数?的取值范围．
19．（本小题满分12分）
如图，几何体ABCD?B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，?BAD?60，AB?a，
?面B1C1D1∥面ABCD,BB1、CC1、DD1都垂直
D1C1B1E于面
ABCD,且BB1?2a，E为CC1的中点，F为
的中点.
（Ⅰ）求证：?DB1E为等腰直角三角形； （Ⅱ）求二面角B1?DE?F的余弦值. 20．（本小题满分12分）
?ABDACBF3?(?1)n已知n?N,数列?dn?满足dn?,数列?an?满足an?d1?d2?d3?????d2n；又知
2mn数列?bn?中，b1?2，且对任意正整数m,n，bn. ?bm（Ⅰ）求数列?an?和数列?bn?的通项公式；
（Ⅱ）将数列?bn?中的第．a1项，第．a2项，第．a3项，……，第．an项，……删去后，剩余的项
- 4 -
按从小到大的顺序排成新数列?cn?，求数列?cn?的前2013项和. 21．（本小题满分13分）
??????x已知向量m?(e,lnx?k)，n?(1,f(x))，m//n（k为常数， e是自然对数的底数），曲
线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)?xexf?(x)． （Ⅰ）求k的值及F(x)的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g(x)??x2?2ax(a为正实数),若对于任意x2?[0,1]，总存在x1?(0,??)， 使得g(x2)?F(x1)，求实数a的取值范围．
22．（本小题满分13分）
x2y22已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为23,离心率为,其右焦点为F,过点
ab2B(0,b)作直线交椭圆于另一点A.
????????(Ⅰ)若AB?BF??6,求?ABF外接圆的方程;
x2y21(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆N:2?2?相交于两点G、H，设P为N上一点，且
ab3????????????????????25满足OG?OH?tOP（O为坐标原点），当PG?PH?时，求实数t的取值范围.
3
青岛市高三统一质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． C B A C D A B B C A C B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
- 5 -