13. 31 14. 2 15. 25 16．①③⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题满分12分）
4?3，解得：??， ……………………………2分
?32sinB?sinC2-cosB-cosC??
sinAcosA解：（Ⅰ）由题意知：
2???sinBcosA?sinCcosA?2sinA-cosBsinA-cosCsinA ?sinBcosA?cosBsinA?sinCcosA?cosCsinA?2sinA
?sin(A?B)?sin(A?C)?2sinA………………………………………………………4分 ?sinC?sinB?2sinA??b?c?2a…………………………………………………6分
（Ⅱ）因为b?c?2a，b?c，所以a?b?c，所以△ABC为等边三角形
13SOACB?S?OAB?S?ABC?OA?OBsin??AB2 ……………………………8分
24?sin??3(OA2?OB2-2OA?OBcos?) ……………………………………………9分 453?53， ………………………………………10分 ?2sin(?-)?434?sin?-3cos?????(0，?),??-当且仅当?-??2??(-，)， 3335?53时取最大值,SOACB的最大值为2?………………12分 64?3??2，即??18．（本小题满分12分）
121C3C3C69?………………………………………4分 解：(Ⅰ)事件A为随机事件，P(A)?3C914
（Ⅱ）①?可能的取值为2,3,4,5,6
11C321C3C1P(??2)?2?P(??3)?23?
C912 C941111C32?C3C31C3C31 P(??4)??P(??5)?? 22C93C94
- 6 -
C321P(??6)?2?
C912∴?的分布列
? 2 3 4 5 6 为：
P 1243412
……………………………………………………9分 ②E(?)?2?1111111111?3??4??5??6??4 ………………………………10分 1243412?????2????1，?E(?)???2E(?)???1??4?2???1
?E(?)?1，??4?2???1?1?0???19．（本小题满分12分）
解：（I）连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，?BAD?60，所以BD?a
?1 …………………………………………12分 4因为BB1、CC1都垂直于面
ABCD,?BB1//CC1，又面B1C1D1∥面ABCD,?BC//B1C1
所以四边形BCC1B1为平行四边形 ,则
zD1C1B1EHDB1C1?BC?a……………………………2分
因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD,
CO则
BxAFDB1?DB?BB?a?2a?3a
22122ya26a DE?DC?CE?a??22222a26a…4分 B1E?BC?C1E?a??22211226a2?6a2?3a2?DB12 所以DE?B1E?422所以?DB1E为等腰直角三角形 ………………………………………………5分
- 7 -
（II）取DB1的中点H，因为O,H分别为DB,DB1的中点，所以OH∥BB1 以OA,OB,OH分别为x,y,z轴建立坐标系，
则D(0,?a32a3a,0),E(?a,0,a),B1(0,,2a),F(a,,0) 222244?????????????3a233所以DB1?(0,a,2a),DE?(?a,,a),DF?(a,a,0) ………………7分
22244??设面DB1E的法向量为n1?(x1,y1,z1)，
?????????????3a2则n1?DB1?0,n1?DE?0，即ay1?2az1?0且?ax1?y1?az1?0
222??令z1?1，则n1?(0,?2,1) ………………………………………………………………9分
???设面DFE的法向量为n2?(x2,y2,z2)，
??????????????333a2则n2?DF?0,n2?DE?0即ax2?ay2?0且?ax2?y2?az2?0
44222???326令x2?1，则n2?(1,?,) ……………………………………………………11分
33626??????2233?则cosn1,n2?,则二面角B1?DE?F的余弦值为 …12分
22183?1??3320．（本小题满分12分）
3?2n3?(?1)n?3n …………………3分 解：?dn?,?an?d1?d2?d3?????d2n?223又由题知：令m?1 ，则b2?b12?22,b3?b1?23?bn?b1n?2n ………………5分 mnmn若bn?2，则bn恒成立 ?2nm，bm?2mn，所以bn?bmnmn若bn?2,当m?1,bn不成立,所以bn?2 ……………………………………6分 ?bmnn（Ⅱ）由题知将数列?bn?中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列?cn?中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b1?2，b2?4公比均是8, …………9分
T2013?(c1?c3?c5?????c2013)?(c2?c4?c6?????c2012)
2?(1?81007)4?(1?81006)20?81006?6???…………………………………………12分
1?81?87
- 8 -
1?lnx?k1nx?kx?f?(x)?21．（本小题满分13分）解：（I）由已知可得：f(x)=， xxee由已知，f?(1)?1?k?0，∴k?1 …………………………………………………………2分 e1?F(x)?xexf?(x)?x(?lnx?1)?1?xlnx?x所以F?(x)??lnx?2 …………3分
x由F?(x)??lnx?2?0?0?x?由F?(x)??lnx?2?0?x?1， 2e1 e2?F(x)的增区间为(0,11][,??) ………………………………………5分 ，减区间为e2e2（II）?对于任意x2?[0,1]，总存在x1?(0,??)， 使得g(x2)?F(x1)，
?g(x)max?F(x)max ……………………………………………………………………6分
由（I）知，当x?111F(x)时，取得最大值.………………………………8分 F()?1?222eee对于g(x)??x2?2ax，其对称轴为x?a 当0?a?1时，g(x)max?g(a)?a2， ?a?1?21，从而0?a?1………………10分 e2111?a?1?，从而……12分
e22e2当a?1时，g(x)max?g(1)?2a?1， ?2a?1?1?综上可知： 0?a?1?1………………………………………………………………13分 2e222．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题意知：c?3，e?c2222，又a?b?c， ?a2x2y2??1 …………………………2分 解得：a?6,b?3?椭圆C的方程为：63????????可得：B(0,3)，F(3,0),设A(x0,y0)，则AB?(?x0,3?y0)，BF?(3,?3)， ?????????AB?BF??6，??3x0?3(3?y0)??6，即y0?x0?3 ?43?x02y02x??0??1???x0?0?3??3由?6，或?
??y?x?3?y0??3?y?30?00?3?即A(0,?3)，或A(433,) …………………………………………………………4分 33- 9 -
①当A的坐标为(0,?3)时，OA?OB?OF?3，??ABF外接圆是以O为圆心，3为半径的圆，即x2?y2?3……………………………………………………………5分 ②当A的坐标为(433,)时，kAF?1，kBF??1，所以?ABF为直角三角形，其外接圆332323115， ,)，半径为AB?3323是以线段AB为直径的圆，圆心坐标为(??ABF外接圆的方程为(x?2322325)?(y?)? 3332322325)?(y?)? ……7分 333综上可知：?ABF外接圆方程是x2?y2?3，或(x?(Ⅱ)由题意可知直线GH的斜率存在.
设GH:y?k(x?2)，G(x1,y1)，H(x2,y2)，P(x,y)
?y?k(x?2)?2222由?x2得：(1?2k)x?8kx?8k?2?0 2??y?1?2由??64k4?4(2k2?1)(8k2?2)?0得：k?21（?） ………………………9分 28k28k2?2x1?x2?,x1x2?
1?2k21?2k2????????25????25252，?HG?即1?kx1?x2? ?PG?PH?33364k48k2?220?(1?k)[?4?]?
(1?2k2)21?2k2921112，结合（?）得：?k? ………………………………………………11分 442?????????????OG?OH?tOP，?(x1?x2,y1?y2)?t(x,y) ?k2?y1?y21?4kx1?x28k2y??[k(x?x)?4k]?从而x?， ?1222ttt(1?2k)tt(1?2k)8k2?4k22222，整理得：]?2[]?216k?t(1?2k) ?点P在椭圆上，?[22t(1?2k)t(1?2k)即t?8?
- 10 -
282626??2?t???t?2………………………………13分 ，，或21?2k33
- 11 -