试题编号：
重庆邮电大学2008-2009学年第二学期 量子力学试卷（期末）（B卷）（闭卷）
题 号 得 分 评卷人
一 二 2.1 2.2 2.3 2.4 总 分 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1、A,B两束光，A的波长?A?3?10?9m，B的波长?B?4?10?10m，请问哪束光的能量更高？ A .
2、微观粒子的波函数?应满足的三个标准条件是 单值性，连续性，有限性 . 3、一粒子的波函数?(x)?3x2e?x，请问该粒子是否处在动量的本征态？ 否. 4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小.. 5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易. ???,L?]?i?L?，[L?,y?]?i?z?. 6、对易关系[L 2,Lz]?0，[Lxyzx??7、已知?x,px??i????,则?x??px??2.
8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？ 是 . 9、已知泡利算符分量?z???，?x, ?y的矩阵表达式
?01?分别为?x?0???11??0??10?，?y?0???i?i??0?.
10、写出氧原子（原子序数z?8）的电子排布:1s22s22p4.
二、解答题（本大题共6小题，共70分）
1、(10
??,x?0,?分)一粒子在一维势场U(x)??0,0?x?a??,x?a?中运动，求粒子的能级和对应的
波函数。
解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程
d?(x)dx22?2??2(U?E)?(x) （1） （2分）
x?a,U(x)??，若波函数?(x)?o, 由(1)式得 在阱外，x?0, d?dx22??, 这是没有
意义的。因此, 在阱外必有?(x)?0。 （2分） 在阱内, 0?x?a,U(x)?0,令k2?d?dx222?E?22,由 (1)式得
?k??0. (2)
上式的通解是 ?(x)?Asinkx?Bcoskx, (3)
A,B是两个待定常数.由于?(x)在边界处连续,有B??(0)?0,且
Asinka??(a)?0.
由于A?0,否则只能有零解,故k?na??a,n?1,2,?.将粒子波函数?(x)?Asinkx代入
2a归一化条件??(x)?(x)dx?1,积分得A?0, 所以, 归一化波函数为
?n(x)???2?a2222asinn?xa. (4) （5分）
粒子能量为 E?n2. (5) （3分）
2、(10分)粒子状态处于一维谐振子的基态 ?(x,t)????21/2e??x222i??t2 试求平均值
x和动量的几率分布函数。（利用积分公式：?e??xdx?????）
解：平均值x为
x????????(x)x?(x)dx?????*???????1/2e??x222i??t2x??1/2e??x222i??t2dx?? （4分）
?xe??x22dx?0因为动量的本征函数为?p(x)? c(p)???p(x)?(x)dx
?12??12??*12??ipxe? ，所以
?????? e12i??x??t22e?i?Pxdx
???i??t2???? e122i??x??t22e?i?Pxdx
2?12??12??12??e???e??? e212ip2p??(x?)?2222??2??dx
?????ei??t2?p2??22???? e12ip2??(x?)22??dx
?i??t2??222?p22?e2??22??ei??t2?1p2???e （4分）
动量几率分布函数为 ?(p)?c(p)2?1?p222???e?? （2分）
3、(20分)有二个物理量，它们的矩阵表示为：
?0??Lx?1?2??01010??1???1,Lz?0??2?0??0?0000??0 ??1??(1)如果测量Lz，得到的可能的值是什么？ 解：Lz的久期方程为
?2??000??0?200???0? ?.(?2??).(?2??)?0
??1?0，?2??2，?3???2
?的本征值为0， ∴Lz?2，??2 （3分）
(2)求Lz的本征函数。
?的本征方程 解：Lz?1??0 ?2??0?a1?其中???a2?a?30000??a1??0a??2??1???a3??a1??????a2 （1分） ?????a???3????的本征函数。 L设为z???当?1?0时，有
?1??0 ?2??00??a1??00a2????a0?1??300???????0 ??????0????a1??0??????0?0 ?a1=a3?0 ????2??????a3??0?
由归一化条件
?0???,0a)??2??0???2 1?(0a,2a2，所以a2?1
?0???∴ ?1??1? （2分）
?0???当?2??2时，有
?1??0
2??0?0000??a1??0a??2??1???a3??a1??????a??2? 2??a???3??a1??a1????? ?0???a2? ?a2?0,a3?0
??a??a?3???3?由归一化条件
?a1?2??* 1?(a1,0,0)?0??a1，所以a1?1
?0???
?1????0 （2分） ???0??? ∴ ?2 当?3???2时，有
?1??0 ?2??00000??a1??0a??2??1???a3??a1???????a ??2?2?????a3??a1???a1??? ?0????a2??a???a3?3???? ?a1?0,a2?0 ???由归一化条件
?0?2?? 1?(0,0,a3)?0??a3，所以a3?1
?a??3?
?0????0 （2分） ???1??? ∴ ?3(3)求Lx的本征值。 解：Lx的久期方程为