???2???20?2???0???????0
32
?20 ??1?0，?2??，?3???
?的本征值为0，?， ∴L?? （3分） x
(4)求Lx的本征函数。
?的本征方程 解：Lx?0?? ?12??01010??a1??1??a2?0???a3??a1????????a2? ?????a3????. （1分） ???a1?? 其中设Lx的本征函数???a2??a3当?1?0时，有
?0?? ?12??01010??a1??1??a2?0???a3??0???????0? ??0?????a2??0?????? ?a1?a3???0? ?a3??a1，a2?0
2???0??a2????a1?????0? ??a?1?? ∴ ?0 由归一化条件
? 1??0?0?a1???**?(a1,0,?a1)?0??2a1??a?1??2. 取 a1?12
?1??2? ???1??0? （2分） ???1????2?? 当?2??时，有
?010?? ???101???a1????a1???2??a2??a2? ??010????a?3???a?3???1a?2??2???a 1???a1???2?2a1?(a?1?a3)???a2???a2?2a?2?3
??1??a???3?a3?a1?a?22?????a1?? ∴ ????2a1? ????a1?? 由归一化条件
??a1?? 1?(a*2a**21,1,a1)???2a1. 取 a1?1???4a12?a1???1??2?? ∴?1??2???。 ?2? ??1???2?? 当?3???时，有
?010??a1? ?????a1??01??2?1??a2?????a2? ??010????a?3???a?3?2分）
（ ?1???a1?2??a2??2a1??a1??1????? ?(a1?a3)????a2???a2??2a3
?2?????aa3?a13???1?????a2???2??a1????2a1??a?1??? ????a1?**2a1,a1)??2a1??a?1??12??4a1. 取 a1?
2??? ∴ ???由归一化条件 1?(a1,?* ∴?3?1?2?1????2??1??2????。 ?????
?/的4、(10分)设一体系未受微扰作用时有三个能级：E10,E20，现在受到微扰H作用，微扰矩阵元为H/??二级修正值。
?a解：因为H???b/?a?bb??a?，a和b都是实数，用微扰公式求能量E1,E2至
b?(0)???，由微扰论公式En?En?Hnna??m??n||HmEn(0)2(0)?Em（2分）
可得
??E1?E?H11?E1?a?001?m20?1|?|Hm020E1?Em?E1?a??2|?|HmE?E00220m0?E?a?b02001?m?2?1|?|Hm020E1?Em?||H210 (4分)
E1?E2E1?E202??E2?E?H22?E2?b?002?m20?E?a?a020?m?1?2|?|Hm020E2?Em?||H120 (4分)
E2?E1?E2?b?E2?E15、(10分)证明轨道角动量满足L2?L2z?L?L???Lz.（其中L??Lx?iLy）
Lz?L?L???Lz?Lz?(Lx?iLy)(Lx?iLy)??Lz?Lz?Lx?iLxLy?iLyLx?Ly??Lz?Lz?Lx?i(LxLy?LyLx)?Ly??Lz22222222证明：?L2z?Lx2?i.i?Lz?Ly2??Lz?Lz?Lx??Lz?Ly??Lz?Lz?Lx?Ly?L2222222
6、(10分)简述量子力学的基本假设。
答：(1) 微观体系的状态用波函数完全描述。（2分）
????.（2分） ?H(2) 体系的状态波函数满足薛定鄂方程：i??t(3) 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，
?的本征函数?(n)展开，当体系处于波函数?(x)时，?(x)可用某力学量算符F?(x)?2?c?nnn?所得的数值必是算符F?的本征值之一?，测得?的几率，测量力学量Fnn为cn.（4分）
(4) 全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（.2分）