房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数 学 （文科） 2013.05
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A 2D 3B 4D 5C 6B 7A 8B
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. (1,2) 10. ,?7 11. n 12.
432519213. y2?2x, 14. (,1),2012
48 2三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15（本小题满分13分）
（Ⅰ）由最小正周期为?可知 ??2??2， T?1?1由f()?得 sin(??)?，
6232又0????，
??????2分
?33?5?所以 ???
36????????3
???2， ??????5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)?sin(2x?所以g(x)?cos2x?sin[2(x??2)?cos2x
??1)?]?cos2xsin2x?sin4x 422 ?????????????????????????9分
解2k??得
?2?4x?2k???2
k??k????x?? (k?Z) ???????????12分 2828k??k???,?] (k?Z). 所以函数g(x)的单调增区间为[2828???????????????????13分
16（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：因为DE?平面ABCD， 所以DE?AC. ???????1分 FGDOBE A第 6 页 C
因为ABCD是正方形，
所以AC?BD， ???????2分 因为DE?BD?D ???????3分
所以AC?平面BDE. ???????4分
(Ⅱ)证明：设AC?BD?O，取BE中点G，连结FG,OG，
//1DE. ???????5分 所以，OG?2//OG， ???????6分 因为AF//DE，DE?2AF，所以AF?从而四边形AFGO是平行四边形，FG//AO. ??????7分 因为FG?平面BEF,AO?平面BEF, ???????8分 所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF. ????????9分 （Ⅲ）解：因为DE?平面ABCD
所以 DE?AB 因为正方形ABCD中，AB?AD,
所以AB?平面ADEF. ???????11分 因为AF//DE,DE?DA?2AF?2，
1?ED?AD?2， 241所以四面体BDEF的体积?S?DEF?AB?. ?????14分
33所以?DEF的面积为
17（本小题满分13分）
（Ⅰ）由题可知a的取值为0,1,2,3,4,5，b的取值为6,7,8,9 基本事件空间：
???(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,6),(2,7),(2,8),
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(2,9),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)共计24个基本事件 ????????3分 满足b?3a的有(2,6),?
(3,9)共2个基本事件
21? ????????7分 2412所以事件b?3a的概率为
（Ⅱ）设事件B=“点（a,b）满足a2?(b?5)2?9” 当b?8时，a?0满足a2?(b?5)2?9
当b?7时，b?0,1,2满足a2?(b?5)2?9 当b?6时，b?0,1,2满足a2?(b?5)2?9
所以满足a2?(b?5)2?9 的有(0,6),(0,7),(0,8),(1,6),(1,7),(2,6),(2,7)， 所以P(B)?7 ????????13分24
18（本小题满分13分）
（Ⅰ）f'(x)?aex?(ax?2)ex?(ax?a?2)ex ?????1分
由已知得f'(1)?0即(2a?2)ex?0 ?????2分 解得：a?1 ??????????3分 当a?1时，在x?1处函数f(x)?(x?2)ex取得极小值，所以a?1 （Ⅱ）f(x)??x?2?e， f'(x)?e+?x?2?e??x?1?e.
xxxxx (??,1) - 减 1 0 (1,??) + 增 f?(x) f(x) 所以函数f(x)在???,1?递减，在?1,???递增. ????????4分
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当m?1时，f(x)在?m,m?1?单调递增，fmin(x)?f(m)?(m?2)em.
?????????5分
当0?m?1时，m?1?m?1
f(x)在?m,1?单调递减，在?1,m?1?单调递增，fmin(x)?f(1)??e.
??????????6分
当m?0时，m+1?1，
f(x)在?m,m?1?单调递减，fmin(x)?f(m?1)?(m?1)em?1.
??????????7分
?(m?2)em,m?1,?综上 f(x)在?m,m?1?上的最小值fmin(x)???e,0?m?1,
?(m?1)em?1,m?0.????????????????8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f(x)??x?2?e， f'(x)?e+?x?2?e??x?1?e.
xxxx令f'(x)?0 得x?1
因为f(0)??2,f(1)??e,f(2)?0 所以fmax(x)?0,fmin(x)??e ?????11分
所以，对任意x1,x2?[0,2]，都有|f(x1)?f(x2)|?fmax(x)?fmin(x)?e
???????????????13分
19（本小题满分14分） （Ⅰ）由e?6c?，c?2，a2?b2?c2 得a?3，b?1， 3ax2?y2?1 ????????4分 所以椭圆方程是：3
（Ⅱ）设P(x1,y1)，Q(x2,y2) 则y1?kx1?2，y2?kx2?2
x2?y2?1，整理得(3k2?1)x2?12kx?9?0（*） 将y?kx?2代入3
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则x1?x2??12k9 ?????????7分 ,xx?123k2?13k2?1????????????????以PQ为直径的圆过D(?1,0)，则PD?QD，即PD?QD?0
y1)?(x2?1,y2)?(x1?1)(x2?1)?y1y2
????????PD?QD?(x1?1, ?x1x2?(x1?x2)??y1y2?1?(k2?1)x1x2?(2k?1)(x1?x2)?5
?解得k?
?12k?14?0． ????????????12分
3k2?17
，此时（*）方程??0， 6
7
所以 存在k?，使得以PQ为直径的圆过点D(?1,0)． ??14分
6
20（本小题满分13分）
2S12a12S2(a1?a2)??2，a3?2??3 ??????2分 a1a1a2a2111（Ⅱ）由已知可知Sn?anan?1，故an?1?Sn?1?Sn?an?1an?2?anan?1．
222因为an?1?0，所以an?2?an?2(n?N*)． ??????4分
（Ⅰ）由于a2?于是 a2m?1?1?2(m?1)?2m?1，a2m?2?2(m?1)?2m，
所以 an?n(n?N*)． ??????6分
（Ⅲ）Tn?log2(2an?1) ????????????????7分
要比较Tn与log2(2an?1)的大小，只需比较2Tn,log2(2an?1)的大小
2nbbb由(2an?1)(2n?1)?1，得(2n?1)(2n?1)?1,2n?，
2n?12n故bn?log2． ????????????????8分
2n?12n??246从而 Tn?b1?b2???bn?log2???????．
2n?1??1352n?2n??246?246 2Tn?2log2???????log??????2??2n?1?2n?1??135?13522n??246因此2Tn?log2(2an?1)?log2????????log2(2n?1)
2n?1??13522n?1?246?log2???????log2?2n?1?2n?1?1352
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2n?1?246?log2[???????]． ?2n?1?2n?1?1352n?1?246设f(n)???????， ??2n?1?2n?1?1352n2n?2?1?246则f(n?1)???????， ???2n?12n?1?2n?3?13524n2?8n?4f(n?1)2n?1?2n?2?(2n?2)2?2?1， 故?????4n?8n?3f(n)2n?3?2n?1?(2n?3)(2n?1)又f(n)?0，所以f(n?1)?f(n)．
4*所以对于任意 n?N 都有f(n)?f(1)??1，
3从而2Tn?log2(2an?1)?log2f(n)?0．
所以2Tn?log2(2an?1)，n?N*．
即 Tn?log2(2an?1) ?????????????????13分
222
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