概率---古典概型、几何概型
一、学习目标：
1.掌握频率与概率的关系；
2.掌握古典概型和几何概型的求法； 3.掌握互斥事件概率的求法. 二、知识梳理 1.随机事件及其概率
（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件. 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件.
（2）频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称比例
m为事件A出现的频率. n（3）频率与概率的区别：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数.
（4）随机事件的概率0?P(A)?1；必然事件的概率为P(?)?1；不可能事件的概率为P(?)=0.. 2.古典概型所满足的条件：（1）所有基本事件数目是有限的；（2）每个基本事件的发生都是等可能的. 3.古典概型的重点和难点：
（1）会判断古典概型中基本事件个数.
（2）不同的抽样：有序和无序； 放回和不放回.
4.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积、角度）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.
（1）几何概型的特点：①基本事件无限多个；②每个事件出现的可能性相等. （2）几何概型的概率公式： P(A)?构成事件A的区域长度(面积、体积、角度)d的测度
?试验的全部结果构成的区域长度(面积、体积、角度)D的测度5..互斥事件的概念：不可能同时发生的两个事件.
（1）如果事件A，B互斥，那么用A?B表示事件A、B至少有一个发生，事件A?B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A?B)?P(A)?P(B)． （2）一般地，如果事件A1,A2,?,An两两互斥， 则P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An)． 三、例题讲练 （一）．.古典概型的概念： 2.古典概型的概率公式：
3. 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数和是3的倍数的概率是多少
4.一次抛掷两枚均匀硬币．
（1）写出所有的等可能基本事件； （2）求出现两个正面的概率；
【小结】
古典概型解题步骤：
【精典范例】
例1.从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
例2.现有一批产品共有4件，其中3件为正品，1件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续2次取出的都是正品的概率； （2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
例3 从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：（１）甲被选中的概率;（２）丁没被选中的概率.
当堂训练 1.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25内的概率为( ) 1A. 2
5B. 1213D. 36
7
C. 22
2.用不同的颜色给下图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求 (1)3个矩形颜色都相同的概率； (2)3个矩形颜色都不同的概率．
3．袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次. 求：
① 3只全是红球的概率； ② 3只颜色全相同的概率； ③ 3只颜色不全相同的概率 .
4.一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球， (1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？ .
（二）几何概型：
试验１ 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm．运动员在70m外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？
总结：1.几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； （２）每个基本事件出现的可能性相等． 2.几何概型的概率公式：
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率P(A)?d的测度．
D的测度3.与几何概型有关的实际问题：长度问题、角度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。
【经典范例】
例1（长度问题） 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．（＂测度＂为长度）
例2（等候问题）某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
例3（面积问题）有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．
例4 （约会问题）
两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．
例5（角度问题）过等边三角形ABC的顶点A在该三角形的内部做射线AD，则?BAD?45的概率。
例6.（体积问题）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正
?方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为
当堂训练：
1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内
随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆
外的黄豆数为96颗，以此实验数据
为依据可以估算出椭圆的面积约为 ( ) A．7.68 B．16.32 C．17.32 D．8.68
ππ1
2．在区间[－，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为( )
222
1
A. 31C. 2
2B. π2D. 3
5
3.已知k∈[－2,2]，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于
4( )
1A. 23C. 4
1B. 4D．不确定
4．向面积为9的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于3的概率是__________．
5.已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为________
6.一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.
???x＋2
<07.已知集合A＝{x|－3 ??x－3? ?? ?. ?? (1)求A∩B，A∪B； (2)在区间(－4,4)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率； (3)设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b－a∈A∪B”的概率． 8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为21 的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是. 2 (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b. ①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．