( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试 《 微积分（上） 》试卷A （试卷号：2013.1.10 时间120分钟，总分100） 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 五 大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 一 得 分 评卷人 二 三 四 五 总分 一、填空题（每小题4分，20分） 1．写出数列?xn?以常数a为极限的??N定义： 对所有??0，存在N?0，当n?N时有xn?a?? _____________ ________ f2?1?x??f2?1?2．设f?1??f??1??2，则lim? 8 x?0xeydx 3．方程y?1?xe确定了隐函数y?y?x?，则dy?1?xeyy姓名 学号 4．设f?x?，且2x3?1?0f?t?dt?x，则f?7??1 125.?0?11?x2dx? 24xn存在，并求?。证明：limn??二、计算下列各题（每小题5分，共15分） 6、设数列?xn?满足：0?x1??，且xn?1?sinxn?n?1,2,出此极限 解 因为0?x1??，所以0?x2?sinx1?1??2，设0?xk?1,k?1，则0?xk?1?sixkn?由数学归纳法得10?xn?1,n?1，从而数列?xn?有界； 又xn?1?xn?sinxn?xn?0，从而数列?xn?是一个单调减少的有界数列。根据单调有界准则limxn存在，设limxn?l。则limxn?1?limsinxn?limxn?l，即sinl?l，得l?0，
n??n??n??n??n??即limxn?0
n??7、求极限lim?1??1?? 2x?0x2sinx??sin2x?x2sin2x?x2?lim解 原式?lim2（等价无穷小替换）
x?0xsin2xx?0x4sinx?xsinx?xsinx?x?sinx?xsinx?x??lim???lim?lim?2lim?x?0x?0x?0xx3?x?0xx3x3??2limsinx?xcosx?1?sinx1?2lim?2lim?? 32x?0x?0x?0x3x6x3?nn??8、求极限lim?22n?????n?1??n?2?解
??? 2?n?n???n?nnlim???22n?????n?1??n?2?1??n?1?11??lim???222n??n???n?n???1??2???1???1????n??n?1??1? ?2?n???1????n??1n11?1?1?11 ?lim??dx???? 22?n??n1?x212k?k?1?00?1?x??1???n?三、 解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、已知y?解 lny?3x?2x2?3xsinx，求
dy dx11ln?x?2??ln?x2?3??lnx?lnsinx 36从而
y?11111cosx???2x?? y3x?26x2?3xsinx??x?21x1y??????cotx?3xsinx 22?3?x?2?3?x?3?x?x?3??10、设f?x??xsinxcosx，求y2?2013??0?
解 f?x??12xsin2，由莱布尼茨公式x 2f?2013??x??1?2?2013??2012?2013?2012?2011?? xsin2x?2013?2x?sin2x??2?sin2x????????2?2??2013?201220112011???2011???2013?2012?f?2013??0?????sin2x???2?sin2x???? ???222??x?0????x?0?2013?201220111???1??2?sin?503?2?????2013?2012?22010?sin??????2013?2012?2201022???2?2?dy?x?ln?1?x?11、设y?y?x?由参数方程?确定，求
dx??y?t?arctantdy22dyt1?ttdx2tdy1tdt?????,?1??解 ，从而 2222dxdx1?t2t2dt1?tdt1?t1?tdt212、写出f?x??xe带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式
xx解 f??x?xxe????e?1??xx,e???f?xx?1???exx2?e???
xxe从而发现f?n??x???n?x?ex，f?n?1??x??ex??n?x?ex??n?1?x?ex
,f?n??0??n，
f?n??0?nf?n????n?1?x?x得
n!?n?1?!f?0??0,f??0??1,f???0??2,f??0?f???0?2x?x?由公式f?x??f?0??1!2!x3xe?x?x??2!x2??n?1???e?xn?1,?在0与x之间。 1xn??n?1?!?n?1?!四、 计算下列各题（每小题5分，共10分）
1?1?cosxdx 11?cosx1?cosx2dx??dx?dx?cscx?cscxcotx?dx 解 ??22??1?cosx1?cosxsinx??cotx?cscx?c
13、计算14、
?xarctanx1?x2dx
解 令x?tant,t?arctanx， 则
?xarctanx1?x2dx??ttant1?tan2tsec2tdt??ttantsectdt??tdsect
?tsect??sectdt?tsect?lnsect?tant?c，由辅助三角形sect?1?x2 原式?1?x2arctanx?ln?1?x2?x?c
?五、解答下列各题（每小题5分，共15分）
15、设f?x?在???,??连续，且f?x?????f?x?,x????,0?。证明
?0??????f?x?dx?0
证 分段积分
0???f?x?dx???f?x?dx??f?x?dx
?0?对
?x令x???t，则d??f?x?dx进行换元，
?dtx,???时t?0，x?t??,x?0时t??，
从而
????f?x0?d?x?0f????，d由t已知f?x?????f?x?,?x????,0??，即t0ft???f??t?,????0??t0?,??，进而
????f?x?dx???f?t?dt???f?x?dx
00??因此
???f?x?dx???f?x?dx??f?x?dx???f?x?dx??f?x?dx?0
?000ln2??16、计算
?0ex?1dx
解 令t?ex?1，则x?lnt?1,dx?ln211?2?2tdt,x?ln2时t?1，x?0时t?0； 1?t2则
?012t1?????? e?1dx??t?dt?21?dt?2t?arctant?21??2??????22??01?t1?t?2?4?00?x17、判别广义积分
lnx?1dx的敛散性 ?x?11eee1elnx?1lnx?1lnx?1解 x?1为瑕点，?dx??dx??dx
x?1x?1x?1111eee?1lnx?1ln?x?1?1122dx??dx?limln2?x?1??lim?lne?1?ln??? ??????????0???0?x?1x?1221??1eee从而
?1lnx?1x?1dx发散，因此原式发散
六、解答下列各题（每小题5分，共10分）
18、求由y?ex?1,x?ln3和y?0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
x解 y?e?1,x?ln交点为3?ln3,2?，y?ex?1,y?0交点为?0,0?，y?0,x?ln3交
点为?ln3,0?，分清边界曲线的上下左右，作图（略）
?1?V????e?1?dx????e?2e?1?dx???e2x?2ex?x?
?2?000x22xxln3ln3ln3?13?3??1???1?9???e2ln3?2eln3?ln3??e0?2e0?0?????eln9?2?3??????6?ln3????ln32?2??2???2?2?2a219、求双扭线r?acos2?在圆x?y?内部的图形的面积。
22222a2a22解 由转化公式x?rcos?,y?rsin?，得圆x?y?的极坐标方程为r?，从而
2222a2双扭线r?acos2?与圆r?的交点处
2222??a2?a21??acos2??,cos2??,?2???,???，交点??,?关于极轴对称，
2236?62?2分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）
????2641?1a?d????a2cos2?d?? 从而看出S?4???22?20??6????a?260?asin2?2?46???2?3??2?????sin?sin?a??1???a
??62326????12七、证明题（每小题5分，共10分）
20、设f?x?在?0,1?上可微，且f?1??2xf?x?dx。试证：存在???0,1?，使
?0f?????f?????0
证 由积分中值定理，2xf?x?dx?2?f12?0?????1??1??0???f???,???0,? ?2??2?从而 1?f?1??f?1???f???,??,1?也形成了一个区间。
令F?x??xf?x?，由已知F?x?，在区间??,1?上连续，在??,1?内可导，又F????F?1?， 由罗尔定理，得存在存在????,1???0,1?，使F?????0，即f?????f?????0
21、设f?x?函数在闭区间?a,b?上连续，证明：f?x?在闭区间?a,b?上存在原函数 证 由于f?x?函数在闭区间?a,b?上连续，可设??x??x??xx?f?x?dx,x??a,b?
ax由于??x??x????x???f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx,x??x??a,b?
aaxx??xx??x??x??x????x?11从而???x??lim?limfxdx?lim?f????x,?位于????x?0?x?0?x?0?x?xx?xx??x与x之间，再由连续性，从而???x??limf????limf????f?x?，由原函数的
?x?0??x定义知??x?是f?x?在闭区间?a,b?上的一个原函数，因此f?x?在闭区间?a,b?上存在原函数