令F?x??xf?x?，由已知F?x?，在区间??,1?上连续，在??,1?内可导，又F????F?1?， 由罗尔定理，得存在存在????,1???0,1?，使F?????0，即f?????f?????0
21、设f?x?函数在闭区间?a,b?上连续，证明：f?x?在闭区间?a,b?上存在原函数 证 由于f?x?函数在闭区间?a,b?上连续，可设??x??x??xx?f?x?dx,x??a,b?
ax由于??x??x????x???f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx,x??x??a,b?
aaxx??xx??x??x??x????x?11从而???x??lim?limfxdx?lim?f????x,?位于????x?0?x?0?x?0?x?xx?xx??x与x之间，再由连续性，从而???x??limf????limf????f?x?，由原函数的
?x?0??x定义知??x?是f?x?在闭区间?a,b?上的一个原函数，因此f?x?在闭区间?a,b?上存在原函数