2013学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科（理科） 2014.4
一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) 1．已知集合
?x?2?A??x|?0?，B??x|x2?2x?3?0,x?R?，则
?x?5?A?B?____________．
2．直线x?3y?1?0的倾斜角的大小是____________． 3．函数y?cos?2x?4．函数y?x??????的单调递减区间是____________． 4?2?x?2?的值域是____________． x5．设复数z满足i?z?1???3?2i，则z＝____________．
6．某学校高一、高二、高三共有2400名学生，为了调查学生的课余学习情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知高一有820名学生，高二有780名学生，则在该学校的高三应抽取____________名学生. 7．函数f?x??sinx?cosxcos???x?2sinxcosx?sinx?1的最小正周期T=____________．
8．已知函数f(x)?arcsin(2x?1)，则f()?____________． 6?09．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，?ACB?90,AA1?2,AC?BC?1，则异面直
AC所成角的余弦值是____________． 线A1B与
1???410．若?1?2??n?N?,n?1?的展开式中x的系数为an，
?x?则lim?n?11??n??a?2a3?1??=____________． an?11．在极坐标系中，定点A(2,?2),点B在直线?cos???sin??0上运动，则点A和点B
间的最短距离为____________．
12．如图，三行三列的方阵中有9个数aij(i?1，从中任取三个数，，2，3；j?，1，23)第1页
?a11 a12 a13???a a a212223?? ?a a a?3233??31则至少有两个数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表
示)
13．如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量，则m?n的最大值为____________． AP?mAB?nAF(m,n为实数）14．对于集合
A?{a1,a2,???,an}（
n?N*,n?3)，定义集合
S?{xx?ai?aj,1?i?j?n}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1,a2,???,an是公差
大于零的等差数列，则S(A)=____________．
二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）
15．已知直线l?平面?，直线m?平面?，给出下列命题,其中正确的是-------------( )
①?//??l?m ②????l//m ③l//m???? ④l?m??//? A．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③ BC16．在?AB、C的对边分别是a、b、c，中，角A、且?A?2?B，则
nsiB等于-------（ ）
nsi3BA．
acbb B． C． D．
bcca217．函数y?1?(x?2)图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下
不可能成为公比的数是---------------------------------------------------------------------------------- （ ） ．．．A．
313 B． C． D．3 22318．设圆O1和圆O2是两个相离的定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确
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的是--（ ）
A．① ③ B．② ③ C．① ② D．① ② ③
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第（1）小题６分，第（2）小题６分） 如图，△ABC中，?ACB?90，?ABC?30，BC?003，在三角形内挖去一个半圆
M，（圆心O在边BC上，半圆与AC、与BC交于点N），将△ABCAB分别相切于点C、绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积． 20．（本题满分14分） 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，
小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知?ABC?120，
0?ADC?1500，BD?1（千米），AC?3（千米）．假设小王和小李徒步攀登的速度为每
小时1200米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．
（即从B点出发到达C点）
21．（本题满分14分；第（1）小题６分，第（2）小题８分）
A
B
D
C
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已知椭圆x2?2y2?a2(a?0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C的方程；
B两点，（2）已知直线y?k(x?1)与椭圆C交于A、试问，是否存在x轴上的点M?m,0?，
使得对任意的k?R，MA?MB为定值，若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.
22．（本题满分16分；第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）
定义：对于函数f?x?，若存在非零常数M,T，使函数f?x?对于定义域内的任意实数x，都有f?x?T??f?x??M，则称函数f?x?是广义周期函数，其中称T为函数f?x?的广义周期，M称为周距． （1）证明函数f?x??x???1?应周距M的值；
（2）试求一个函数y?g?x?，使f?x??g?x??Asin??x????x?Rx?x?Z?是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相
?（A、?、?为常
数，A?0,??0）为广义周期函数，并求出它的一个广义周期T和周距M；
（3）设函数y?g?x?是周期T?2的周期函数，当函数f?x???2x?g?x?在?1,3?上的值域为??3,3?时，求f?x?在??9,9?上的最大值和最小值．
23．（本题满分18分，第（1）小题3分，第（2）小题9分，第（3）小题6分） 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数n?5）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f?2,1??f?1,1??f?1,2?；
f?i,j?为数表中第i行的第j个数．
（1） 求第2行和第3行的通项公式f?2,j?和f?3,j?；
（2） 证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求f?i,1?关于i（i?1,2,,n）的表达式；
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