????????t?2时，PF1?PF2最大值为4，
????????????????t?1或3时，PF1?PF2最小值为3，PF1?PF2取值范围是?3,4?.………………5分
（Ⅱ）设直线l的斜率为k，
则直线l方程y?2?kx，设B(xB,yB)，A(xA,yA),
?y?kx?2,?22由?y2x2，得(3k?4)x?12kx?0， ???1,3?4?6k2?8?12k则有xA?0，xB?2，所以yB?，23k?4 3k?4??????????12k8?6k2,2?1),FH?(xH,?1), 所以F1B?(213k?43k?4?????????由已知F1B?F1H?0,
?6k2?89k2?4?12k?0,解得xH??xH?1?所以2, 23k?412k3k?4?????????222MO?MA,xM?yM?xM?(yM?2)2，yM?1,
?y?kx?2,19k2?4?)，联立?MH方程y??(x?19k2?4
k12k),?y??(x?k12k?89k2?202k?yM??1，解得，
312(1?k2)所以直线l的方程为y??26x?2. …………………………13分 3（21）（本小题满分14分）
11x2?a(a?2)（Ⅰ）f?(x)?，（?） ?2a?[?]?x?1(x?a)2(x?1)(x?a)2x2?a(a?2)当a?2时，?x?0，?f?(x)??0，函数f(x)在(0,??)上是增函
(x?1)(x?a)2数；
当0?a?2时，由f?(x)?0，得x2?a(a?2)?0，解得x1??a(2?a)（负值舍去），x2?a(2?a)，所以
当x?(0,x2)时，x?a(a?2)?0，从而f?(x)?0，函数f(x)在(0,x2)上是减函数； 当x?(x2,??)时，x?a(a?2)?0，从而f?(x)?0，函数f(x)在(x2,??)上是增函数．
综上，当a?2时，函数f(x)在(0,??)上是增函数；
当0?a?2时，函数f(x)在(0,a(2?a))上是减函数，在(a(2?a),??)上是增函数．
……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a?2时，f?(x)?0，函数f(x)无极值点；
要使函数f(x)存在两个极值点，必有0?a?2，且极值点必为x1??a(2?a)，
22
x2?a(2?a)，又由函数定义域知，x??1，则有?a(2?a)??1，即
a(2?a)?1，化为(a?1)2?0，所以a?1，
所以，函数f(x)存在两个极值点时，正数a的取值范围是(0,1)?(1,2)．
?x1?x2?0,由（?）式可知，?
?x1?x2?a(a?2),2a2af(x1)?f(x2)?ln(1?x1)??ln(1?x2)?x1?ax2?a2a(x2?a?x1?a)?ln[(1?x1)(1?x2)]?(x1?a)(x2?a)
2a(x1?x2?2a)?ln(1?x1?x2?x1?x2)?x1x2?a(x1?x2)?a24a222?ln[(a?1)]??ln[(a?1)]??2,2a(a?2)?aa?122?2?0， 不等式f(x1)?f(x2)?4化为ln[(a?1)]?a?1令a?1?t(a?(0,1)?(1,2))，所以t?(?1,0)?(0,1)，
22令g(t)?ln(t)??2，t?(?1,0)?(0,1)．
t22当t?(?1,0)时，g(t)?2ln(?t)??2，ln(?t)?0,?0，所以g(t)?0，不合题
tt2意；
2112(t?1)?2，g?(t)?2??2?(?2)??0，所以 2tttt2 g(t)在(0,1)是减函数，所以g(t)?g(1)?2ln1??2?0，适合题意，即a?(1,2)．
1综上，若f(x1)?f(x2)?4，此时正数a的取值范围是(1,2)． ……………………10分
2（Ⅲ）当a?1时，f(x)?ln(x?1)?，
x?11111?x?1，所以 不等式f(x)?x?1?可化为ln(x?1)?ex?1x?1e111111?x?1，即证lnx??x， 要证不等式f(x)?x?1?，即证ln(x?1)?ex?1x?1exe111x?1设h(x)?lnx?，则h?(x)??2?2，
xxxx在(0,1)上，h'（x）＜0，h（x）是减函数； 在（1，??)上，h'（x）＞0，h（x）是增函数． 所以h(x)?h(1)?1，
1设?(x)?x，则?(x)是减函数，
e所以?(x)??(0)?1，
11所以?(x)?h(x)，即lnx??x，
xe当t?(0,1)时，g(t)?2lnt?
所以当a?1时，不等式f(x)?1ex?1?1成立． ……………………14分 x?1