习题2答案
习题2. 写出完成如下平面图形变换的变换矩阵；
(1) 保持点（5，10）固定，x方向放大3倍，y方向放大2倍。
(2) 绕坐标原点顺时针旋转90?。 (3) 对直线y?x成轴对称。 (4) 对直线y??x成轴对称。
(5) 沿与水平方向成?角的方向扩大S1倍，沿与水平方向成90???角的方向扩大S2倍。 (6) 对于平面上任意一点(x0,y0)成为中心对称。
(7) 对平面上任意一条方程为Ax?By?C?0的直线成轴对称。 解答：
(1)变换矩阵如下：
?300?T(?5,?10)?S(3,2)?T(5,10)???020?? ???10?101??
(2) 变换矩阵如下：
?cos(?90?)sin(?90?)0??0?10?R(?90?)????sin(?90?)cos(?90?)0?????100?? ??001????001??
(3) 变换矩阵如下：
??22??220??00?2??2R(45?)?S(?1,1)?R(?45?)??22???1????010??2???220???001???001?2????0??????
(4) 变换矩阵如下：
??22??220??100?2??2R(45?)?S(1,?1)?R(?45?)??22????0????0?10??2???22?001??01?2??0???0???????220??102??0?20?????100?? 01??01???0????220???102??0?20??????100??01??01???0???
(5) 变换矩阵如下：
?cos(??)?R(??)?S(S1,S2)?R(?)??sin(??)??0?sin(??)cos(??)00??S1??00??1????00S200??cos(?)??0?sin(?)??1?0???sin(?)cos(?)00??0?1???S1?cos2??S2?sin2?(S1?S2)?cos??sin?0????(S1?S2)?cos??sin?S2?S21?sin?2?cos?0????001??
(6) 变换矩阵如下：
?100???100??100?T(?x?S(?1,?1)?T(x?0,?y0)0,y0)??010????0?10????010?????x0?y01????001????x0y01????100?
???0?10????2x02y01??
(7) 变换矩阵如下：对平面上任意一条方程为Ax?By?C?0的直线成轴对称 当A?0时，
T(CBA,0)?R(arctg(?A))?S(?1,1)?R(?arctg(?BA))?T(?CA,0)?A?B?AB?0??220???10??A?BA2?B200??2?A?B2A2?B2??010??BA???10??10?BA?C????2?1?A2?B2A2?B2??001?????A2?B2A2?B?A0???001??0???00????B2?A2?2?2AB?A?B2A2?B20????2ABA2?B2???A2?B2A2?B20???2??AC2?2BC?A?B2A2?B21???
或者当B?0时，
0?????10???0??C1????A?00??10?01???
T(0,C)?R(?arctg(?A))?S(1,?1)?R(arctg(?A))?T(0,?C)BB?B??100????A2?B2???010???AC22??0B1?????A?B?0???BA?2?A2??B2A?B2?AB?2?A2?BA2?B2?00???B2?A2??2AB?A2?B2A2?B2??2ABA2?B2??A2?B2?A2?B22??AC2?2BC?A?B2A2?B2
AA2?B2BA2?B200????0??10???011?0?C???B??0???0??1???BB0????100?0????0?10??1??001??????0??0?1???
习题5答案
习题5. 举例说明由平移、比例或旋转构成的组合变换一般不能交换变换的次序，说明什么情况下可以交换次序。 平移与比例不能交换变换的次序 解答：
平移与比例不能交换变换的次序，如下：
?100?00??S00?T(T?S(S?x,Ty)x,Sy)??010??Sx??Sy0????0Sy0??x???0?TxTy1????001????TxSxTySy1???S00??100??Sx00?
S(S?xx,Sy)?T(Tx,Ty)??0Sy0????010?????0Sy0????001????TxTy1????TxTy1??平移与旋转不能交换变换的次序，如下：
?100??cos?sin?0??cos?sin?T(T(?)??x,Ty)?R?010???cos????sin?cos?0??????sin??TxTy1????001????Txcos??Tysin?Txsin??Tycos??cos?sin?0??100??cos?sin?0?R(?)?T(T?x,Ty)???sin?cos?0????010??????sin?cos?0????001????TxTy1????TxTy1??当Sx?Sy时，比例与旋转不能交换变换的次序，而当Sx?Sy时，比例与旋转可以交换变换的次序，如下：?Sx00??cos?sin?0??Sxcos?Sxsin?0?S(S)??x,Sy)?R(?0???0Sy???sin?cos?0??????Sysin?Sycos?0????001????001????001???cos?sin?0??Sx00??Sxcos?Sysin?0? R(?)?S(S)??x,Sy??sin?cos?0????0Sy0??????Sxsin?Sycos?0????001????001????001??即如果组合变换由一系列比例和旋转变换组成，并且比例变换中Sx?Sy，则可以交换变换次序。
0?0??1??
习题7答案
习题7. 平面上两点P和V的齐次坐标是（p1,p2,p3）和（v1,v2,v3），验证过这两点的直线采用齐次坐标的方程是：
(v2p3?v3p2)x1?(v3p2?v1p3)x2?(v1p2?v2p1)x3?0
解答：
P和V两点的齐次坐标规范化得：(p1p3,p2p3,1)，(v1v2,,1) v3v3x1x2,,1) x3x3设直线过P，V两点的直线上的任意一点的齐次坐标为(x1,x2,x3)，则它的规范化结果为(?可得过P，V两点的直线方程为：
x2x3x1x3??p2v2p3v?3p1v1p3?p2p3??p2p3 p1p3?p1p3)?(x1x3?p1p3)(v2v3?p2p3)
v3)(?(x2x3v1v3?(x2p3?x3p2)(v1p3?v3p1)?(x1p3?x3p1)(v2p3?v3p2)
?x2p3v1p3?x3p2v1p3?x2p3v3p1?x3p2v3p1?x1p3v2p3?x3p1v2p3?x1p3v3p2?x3p1v3p2 ?x2p3(v1p3?v3p1)?x3p2(v3p1?v1p3)?x1p3(v2p3?v3p2)?x3p1(v3p2?v2p3) ?x1p3(v2p3?v3p2)?x2p3(v1p3?v3p1)?x3p1(v3p2?v2p3)?x3p2(v3p1?v1p3)?0 ?x1p3(v2p3?v3p2)?x2p3(v3p1?v1p3)?x3(p1v3p2?p1v2p3?p2v3p1?p2v1p3)?0
?x1(v2p3?v3p2)?x2(v3p1?v1p3)?x3(p1v3p2p3?v2p1?p2v3p1p3?v1p2)?0
?x1(v2p3?v3p2)?x2(v3p1?v1p3)?x3(v1p2?v2p1)?0
?得到过P，V两点的采用齐次坐标的方程为
(v2p3?v3p2)x1?(v3p1?v1p3)x2?(v1p2?v2p1)x3?0
证明完毕