安徽省六校教育研究会2013届高三联考
数学（理科）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的 1.复数(1?)2的虚部是( )
i1A．0 B．2 C．?2 D．?2i
2.命题p：若a，b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|＞1的充分而不必要条件． 命题q：函数y?x?1?2的定义域是???,?1???3,???，则 ( )
A.“p或q”为假 B．“p且q”为真
C.p真q假 D.p假q真
3.在极坐标系中，以A（0，2）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是（ ） A.ρ=4sinθ B.ρ=2 C.ρ=4cosθ D. ρ=2sinθ+2cosθ 4.
已
知
集
合
M?aa?(1,2)??(3,4),??R??，
N?aa?(?2,?2)??(4,5),??R ，
??则M?N等于( )
A．{(1,1)} B．{(1,1)，(－2，－2)} C．{(－2，－2)} D．? 5.右图给出的是计算
12?14?16?????120的值的一个程序框图，其中
判断框内应填入关于的条件是 .（ ） A.i=10 B.i≥9 C.i≤10 D.i≥11 6.若双曲线x?2y2m?1的一条渐近线的倾斜角??(0，
?3),则m的取值范围是（ ）
（- A.?-3,0? B.-3,0 C.?0,3? D.
??33,0）
7.四棱锥P?ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右 图所示，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的 线段长为22，则该球表面积为( )
A．9? B．3? C．22? D．12?
8.角?的顶点在坐标原点O,始边在y轴的正半轴上，终边在第三象限过点P,且
4且tan???2，则cos?POQ的值为（ ） tan???3；角?的顶点在坐标原点O,始边在x轴的正半轴上，终边在第二象限经过点Q，
A.
55 B. ?55 C.
11525 D. ?11525
9.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取两条，这两条直线异面的概率是（ ） A.
132329632263. B. C. D.
10.设0?b?1?a,若关于x的不等式(ax)2?(x?b)2的解中恰有四个整数，则a的取值范围是（ ）
A.?3?a??1 B. 1?a?2
C. 2?a?3 D. 3?a?6
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． ?x?y?1?0?11.已知不等式组?x?y?1?0表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积
?3x?y?3?0?相等的两部分，则实数k的值是 ．
12.某单位为了了解用电量y（度）与气温x(0C)之间的关系，统计了某4天的用电量与当 天气温，数据如下表：
气温（0C） 用电量（度） 18 24 13 34 10 38 ?1 64 ??bx?a中的b??2，预测当气温为?10?C时，该单位用由表中数据可得线性回归方程y电量的度数约为_______度．
13.高三某班级有6名同学参加自主招生，准备报考3所院校，每人只报考一所，每所院校至少报1人，则不同的报考方法为__________。（用数字作答）
?(a?2)x(x?2)?14.设函数f(x)??11,an?f(n)，若数列{an}是单调递减数2x(1?xdx)?1(x?2)???1??列，则实数a的取值范围为 .
15.函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]?D，使得函数f(x)满足：（1）f(x)在[a,b]内是单调函数；（2）f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间[a,b]为y?f(x)
的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的有__________（只需填符合题意的条件序号）
①f(x)?x2(x?0)； ③f(x)?4x
②f(x)?ex(x?R)；
1x④f(x)?log(a?)(a?0,a?1) a28x?1三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(x?0)；
16．（本小题满分12分）
函数f(x)?Asin(?x??)?1 （A?0，??0,??个对称中心之间的距离为
?2)的最大值为2，其图像相邻两
?2，且经过点(?1,). 122?(1)求函数f(x)的单调递增区间；
75(2)若f(?)?
，且????????，求f(?)的值. ，?124?26??17.（本小题满分12分）美国NBA总决赛采用七局四胜制，赛前预计2012年参加决赛的两队实力相当，且每场比赛组织者可获得200万美元，问：
（1）比赛只打4场的概率是多少？
（2）组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元的概率是多少？ （3）组织者在本次比赛中获利的期望是多少？
18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形， ?DAB??DBF?60?，且FA?FC．
（1）求证：AC?平面BDEF； （2）求证：FC∥平面EAD； （3）求二面角A?FC?B的余弦值．
DCEF
19.（本小题满分12分）已知椭圆C:xa22AB?yb22?1(a?b?0)的离心率为53，定点
M(2,0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1?MB2.
（1）求椭圆C的方程； (2）设过点M且斜率不为0的任意直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点
P，使PM平分?APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
20.（本小题满分13分）设函数f(x)?x2，g(x)?alnx?bx(a?0)。f'(x)、g'(x)分别是f(x)、g(x)的导函数。
（1）若f(1)?g(1)，f'(1)?g'(1)，是否存在实常数k和m，使得f(x)?kx?m和
g(x)?kx?m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由;
'（2）设G(x)?f(x)?2?g(x)有两个零点x1和x2，且x1、x0、x2成等差数列，G＇(x)是
G(x)的导函数，试探究G(x0)值的符号．
＇'
21.（本小题满分14分）已知曲线C:xy?1 ，过C上一点An(xn,yn)作一斜率kn??的直线交曲线C于另一点An?1(xn?1,yn?1)，其中x1?（1）求xn与xn?1之间的关系式； （2）求证：数列{1xn1?}是等比数列； ?231171xn?2
（3）求证：(?1)x1?(?1)2x2?(?1)3x3??(?1)nxn?1(n?N*)
安徽省六校教育研究会2013年高三素质测试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分) 题号 选项 131 C 2 D 3 A 4 C 5 D 6 A 77 D 8 B 9 C 10 B 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分) 11．
12．80 13．540 14．(??,) 15．①③④
4三 解答题： 16．
解：（１）由已知：A?3,??2,??令2k???3,f(x)?3sin(2x?512?3)?1 ……….3分 (k?Z)
?2?2x??3?2k???2 得k??512??x?k???12所以f(x)单调递增区间是[k???,k???12](k?Z)； ……….6分
（2）由f(?)?75，得sin(2???3)?453，
???[,] 所以cos(2??)??
12435???f(?2??6)?3sin(??2?3)?1?3cos(???61?cos(2??)?1=3?2)3?1
=355?1． ………12分
17. （本小题满分12分）
（1）依题意，某队以4：0获胜。其概率为P=2×(12)?418. ????4分
（2）组织者在本次比赛中获利不低于1200万美元，则至少打6场，分两种情况： （1）只打6场，则比赛结果应是某队以4：2获得胜利，其概率为
151512,(2)打7场·，则比赛结果应是某队以4：3获得胜利，其概率为P?C2?C5?()??122163P2=C12C6?(12)?7516,由于两种情况互斥，∴P=P1+P2=
58，∴获利不低于1200万美元的概率为
58. ?????8分 （3设组织者在本次比赛中获利ξ万美元，则ξ的分布列为：
ξ P 18800 1000 141200 1400 516 Eξ=800??1000?14?1200?516?1400? ?1162.5（万美元） ?????12分
18.（本小题满分12分）
（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．
因为 四边形ABCD为菱形，所以AC?BD，
且O为AC中点．
又 FA?FC，所以 AC?FO． 因为 FO?BD?O，
所以 AC?平面BDEF． ????3分
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD//BC，DE//BF， 所以 平面FBC//平面EAD． 又FC?平面FBC，所以FC// 平面EAD． ??6分