（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且?DBF?60?，所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO?BD，故FO?平面ABCD． 由OA,OB,OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz． 设AB?2．因为四边形ABCD为菱形，?DAB?60?，则BD?2， 所以OB?1， OA?OF?3．
所以 O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,1,0),C(?3,0,0),F(0,0,3)． 所以 CF?(3,0,3)，CB?(3,1,0)． ??????n?CF?0,设平面BFC的法向量为n=(x,y,z)，则有???? ???n?CB?0.????????所以 ???3x?3z?0, 取x?1，得n?(1,?3,?1)． ????10分
3x?y?0．易知平面AFC的法向量为v?(0,1,0)．
n?vnv155由二面角A?FC?B是锐角，得 cos?n,v???．
所以二面角A?FC?B的余弦值为
155． ????12分
(本小题也可以作出二面角的平面角，直接计算出该角的余弦值)
19.（本小题满分12分） （1）解：由
59?e?2a?ba222?1?ba22， 得
ba?23.
依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b?2，故a?3.
x2所以椭圆C的方程是
9?y24?1. ????5分
（2）解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB的方程为x?my?2.
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 (4m?9)y?16my?20?0.
?16m4m?9222所以 y1?y2?，y1y2??204m?92.
若PM平分?APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA?kPB?0.
设P(a,0)，则有
y1x1?a?y2x2?a?0.将 x1?my1?2，x2?my2?2代入上式，
整理得
2my1y2?(2?a)(y1?y2)(my1?2?a)(my2?2?a)?0，所以 2my1y2?(2?a)(y1?y2)?0.
将 y1?y2??16m4m?92，y1y2??204m?92代入上式，整理得 (?2a?9)?m?0.
由于上式对任意实数m都成立，所以 a?92.
9 综上，存在定点P(,0)，使PM平分?APB. ????12分
220.（本小题满分13分）
（1）由f(1)=g(1)，f′(1)=g′(1),得 b=1, a+b=2，解得a=b=1则g(x)=lnx+x……2分
因f(x)与g(x)有一个公共点(1，1)，而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x?1.下面验证 f(x)≥2x?1 ,g(x)≤2x?1 都成立即可．
由x2?2x?1≥0，得x2≥2x?1，知f(x)≥2x?1恒成立．
设h(x)=lnx+x?(2x?1)，即h(x)=lnx?x+1，易知其在(0,1)上递增，在(1,??)上递减，所以h(x)=lnx+x?(2x?1)的最大值为h(1)=0，所以lnx+x≤2x?1恒成立． 故存在这样的k和m，且k=2，m=?1...………6分
（2）G′(x0)的符号为正，理由为：∵G(x)=x＋2－alnx－bx有两个不同的零点x1，x2，
2??x1＋2－alnx1－bx1＝022
则有?2，两式相减得x2－x1－a(lnx2－lnx1)－b(x2－x1)=0.
?x2＋2－alnx2－bx2＝0?
2
即x1＋x2－b=
a(lnx2?lnx1)x2?x1a2a
，于是G′(x0)＝2x0－－b=(x1＋x2－b)－
x0x1＋x2
2(x2x1?1)x2x1=
a(lnx2?lnx1)x2?x1－
2(x2?x1)2aaxax
= [ln2－] = [ln2－x1＋x2x2－x1x1x2－x1x1x?x12]，
1?2(t?1)xa
①当0
x1x2－x11?t故?(t)=lnt－
2(t?1)1?t(t?1)41 (t>1)，?′(t)=－＝>0，则?(t)在[1，＋∞)上为 增2t(1?t)2t(1?t)2
函数，而?(1)＝0，∴?(t)>0，即lnt－
2(t?1)1?t>0，又a>0，x2－x1>0，∴G′(x0)>0，
②当0
?yn?1?yn??1xn?2(xn?1?xn)??1xn??1xn?2(xn?1?xn)?xnxn?1?xn?2．
……………………4分
（2）设an?1xn?1?21xn?2?13,由（1）得
an?1??13?1xn?2xn?2?13??2(1?)??2an
xn?231又a1??2?0,故{1?}是等比数列； ……………………8分
xn?23n1（3）由（2）得an?(?2)?xn?2?1(?2)?n13
?(?1)xn?(?1)?2?nnn12?(?1)?n13 ……………………10分
当n为偶数时，则
(?1)n?1xn?1?(?1)xn?2?2nn2?2n?1nn?1?13?2n?1?1219??2?22?2nnn?1n?1?12n?1?12n
?(?1)x1?(?1)x2?(?1)x3?...?(?1)xn?2323n122?...?n12n?1?12n?1； ………12分
当n为奇数时，则(?1)x1?(?1)x2?(?1)x3?...?(?1)xn?1?(?1)xn
12?nnn而xn?2?13?0,所以1?(?1)xn?1?xn?1
?(?1)x1?(?1)x2?(?1)x3?...?(?1)xn?1
23n
综上所述，当n?N*时，(?1)x1?(?1)2x2?(?1)3x3??(?1)nxn?1成立． ………14分