又????AM?//????ME，∴ 点M在AE上，
∴ |????AM?|?|????ME|?|???AE?|?m|???EF?|?2m，|???MA?|?|????MF|， ∴ |????ME|?|????MF|?2m?|???EF?|，
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a?m，半焦距c?1， ∴ b2?a2?c2?m2?1．
∴ 点M的轨迹W的方程为x2y2m2?m2?1?1（m?1）
．
6
?7．设x,y?R，i,j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量a?xi?(y?2)j，???b?xi?(y?2)j， 且|a|?|b|?8．
（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程；（定义法）
????????????（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP?OA?OB，是否存在这样的
直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由．
x2y2解：（1）??1；
1216（2）因为l过y轴上的点(0,3)．若直线l是y轴，则A,B两点是椭圆的顶点．
????????????? OP?OA?OB?0，所以P与O 重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
故直线l的斜率存在，设l方程为y?kx?3，A(x1,y1),B(x2,y2)．
?y?kx?3,?由?x2y2 消y得(4?3k2)x2?18kx?21?0,此时
?1,???1216??(18k)2?4(4?3k2)(?21)＞0恒成立，且x1?x2??18k21，， xx??12224?3k4?3k????????????? OP?OA?OB，所以四边形OAPB是平行四边形．
????????若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA?OB，即OA?OB?0．
?????????OA?(x1,y1),OB?(x2,y2)， ????????∴ OA?OB?x1x2?y1y2?0．
即(1?k)x1x2?3k(x1?x2)?9?0．
2(1?k2)?(?52118k52k???9?0k?)?3k?(?) ．，得． 224164?3k4?3k5x?3，使得四边形OAPB是矩形． 4故存在直线l：y??
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????8．如图，平面内的定点F到定直线l的距离为2，定点E满足：|EF|=2，且EF?l于G，???????????????????????????点Q是直线l上一动点，点M满足：FM?MQ，点P满足：PQ//EF，PM?FQ?0．
（I）建立适当的直角坐标系，求动点P的轨迹方程；
（II）若经过点E的直线l1与点P的轨迹交于相异两点A、B，令?AFB??，当?????时，求直线l1的斜率k的取值范围．
解：（1）以FG的中点O为原点，以EF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy，设点P(x,y)，
则F(0, 1)，E(0, 3)，l:y??1．
34 ??????????????????x∵ FM?MQ，PQ//EF，∴Q(x,? 1)，M(, 0)．
2?????????x∵PM?FQ?0，∴ (?)?x?(?y)?(?2)?0，
2即所求点P的轨迹方程为x?4y．
2 （2）设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1?x2)
设AF的斜率为k1，BF的斜率为k2，直线l1的方程为y?kx?3 由?
?y?kx?3?x?4y2????6分 得x2?4kx?12?0
2x12x2xx?x1?x2?4kx1x2??12????7分 ?y1y2???(12)2?9
444y1?y2?k(x1?x2)?6?4k2?6????8分
?FA?(x1,y1,?1),FB?(x2,y2?1)?FA?FB?x1x2?(y1?1)(y2?1)
8
?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1??12?9?4k2?6?1??4k2?8
又?|FA|?|FB|?(y1?1)(y2?1)?y1y2?(y1?y2)?1?9?4k?6?1?4k?16
22
?4k2?8k2?2????10分
?cos?????22k?4|FA|?|FB|4k?16FA?FB
由于
23????? ??1?cos???2即?1??k2?2??2????11分 422k?4k2?22?2?2k?4?k2?22
解得k?48或k??48????13分
∴直线l1斜率k的取值范围是{k|k?48,或k??48}
9．如图所示，已知定点F(1, 0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，
??????????????????并延长MP到点N，且PM?PF?0，|PM|?|PN|．
（1）求动点N的轨迹方程；
????????（2）直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若OA?OB??4，且46?|AB|?430，
求直线l的斜率k的取值范围．
?????????解：（1）设N(x,y)，由|PM|?|PN|得M(?x,0)，
yPN?????????yyyP(0, )，PM?(?x,?)，PF?(1,?)，
222?????????y2?0，即动点N的轨迹方程为又PM?PF?0，∴?x?4y2?4x．
（2）
MoFx?????????10．已知点F(0, 1)，点M在x轴上，点N在y轴上，P为动点，满足MN?MF?0，??????????MN?MP?0．
（1）求P点轨迹E的方程；
（2）将（1）中轨迹E按向量a?(0, 1)平移后得曲线E?，设Q是E?上任一点，过Q作圆
? 9
x2?(y?1)2?1的两条切线，分别交x轴与A、B两点，求|AB|的取值范围． ?????????解：（1）设M(a, 0)、N(0, b)、P(x,y)，则MN?(?a,b)、MF?(?a, 1)、 ????MP?(x?a, y)．
?a2?b?0,?(?a, b)?(?a, 1)?0,12?由题意得? ∴ ? ∴ y?x， x4?(?a, b)?(x?a,y)?(0, 0).?a?, b??y,?2故动点P的轨迹方程为y?（2）
12x． 4????????111．如图A(m,3m)和B(n,?3n)两点分别在射线OS、OT上移动，且OA?OB??，
2????????????O为坐标原点，动点P满足OP?OA?OB．
（1）求m?n的值； （2）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？
????????（3）若直线l过点E(2, 0)交（2）中曲线C于M、N两点，且ME?3EN，求l的方程
．
????????解：（1）由已知得OA?OB?(m,3m)?(n,?3n)??2mn??1，
21∴ mn?．
4???????????? （2）设P点坐标为(x,y)（x?0），由OP?OA?OB得
(x,y)?(m,3m)?(n,?3n)?(m?n,3(m?n))，
y A ?y?x?m?n,2?4mn， ∴? 消去m，n可得x?3??y?3(m?n)2O P x y221?1(x?0)． 又因mn?，∴ P点的轨迹方程为x?342B y2?1的它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x?3
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