右支．
（3）设直线l的方程为x?ty?2，将其代入C的方程得
3(ty?2)2?y2?3 即 (3t2?1)y2?12ty?9?0，
易知(3t2?1)?0（否则，直线l的斜率为?3，它与渐近线平行，不符合题意） 又??144t2?36(3t2?1)?36(t2?1)?0，
12t,yy?设M(x1,y1),N(x2,y2)，则y1?y2??2123t?1∵ l与C的两个交点M,N在y轴的右侧
9 3t?12 x1x2?(ty1?2)(ty2?2)?t2y1y2?2t(y1?y2)?4
9?2t??12t?4??3t2?4?0， 3t2?13t2?13t2?122∴ 3t2?1?0，即0?t?1，又由x1?x2?0同理可得 0?t?1，
33?t2??????????2?x1?3(2?x2) 由ME?3EN得 (2?x1,?y1)?3(2?x2,y2)， ∴ ?
?y?3y?12t得y? 由y1?y2??3y2?y2??2y2??12226t，
3t?13t2?122 由y1y2?(?3y2)y2??3y2?29得y2??23，
3t?13t?1消去y2得
36t2??3考虑几何求法！！ 222(3t?1)3t?122解之得：t?1 ，满足0?t?1．
153故所求直线l存在，其方程为：15x?y?25?0或15x?y?25?0．
????2525x和y??x上的两个动点，并且|AB|?20，动点12．设A，B分别是直线y?55????????????P满足OP?OA?OB．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
?????????（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且DM??DN，求实数?的取值范围．
解：（I）设P(x,y)，因为A、B分别为直线y?
2525x和y??x上的点，故可设 5511
A(x1,2525x1)，B(x2,?x2)． 55?x?x1?x2,?x1?x2?x,?????????????? ∵OP?OA?OB， ∴? ∴?255
(x1?x2)．?x1?x2?y．?y?5?2?????4 又AB?20， ∴(x1?x2)2?(x1?x2)2?20．
5x2y25242 ∴y?x?20． 即曲线C的方程为??1．
251645（II） 设N（s，t），M（x，y），则由DM??DN，可得（x，y-16）=? (s，t-16)． 故x??s，y?16??(t?16)．
?s2t2??1,??2516 ∵ M、N在曲线C上， ∴?22 2??s?(?t?16??16)?1.?16?25 消去s得
?2(16?t2)16(?t?16??16)2??1．
1617??15． 2?由题意知??0，且??1，解得 t?又 t?4， ∴
3517??15． ?4． 解得 ???（??1）
532?35． ???（??1）
53 故实数?的取值范围是
y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2． 13．设双曲线2?a3（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；（y??3x） 3（2）若A、B分别为l1、l2上的动点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方
x23y2??1） 程，并说明是什么曲线．（
7525 12
提示：|AB|?10?(x1?x2)2??y1?y2??10，又y1??233x1，y2?x2， 33则y1?y2?33(x2?x1)，y2?y1?(x1?x2)． 33又 2x?x1?x2，2y?y1?y2代入距离公式即可．
????????（3）过点N(1, 0)是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP?OQ?0，若存
在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．（不存在）
14．已知点F(1, 0)，直线l:x?2，设动点P到直
线l的距离为d，已知|PF|?2d，且 2yMl23?d?． （1）求动点P的轨迹方程； 32????????????????1（2）若PF?OF?，求向量OP与OF的夹角；
3????????（3）如图所示，若点G满足GF?2FC，点M满足
PGOFCx????????MP?3PF，且线段MG的垂直平分线经过点P，求
△PGF的面积．
15．如图，直线l:y?kx?1与椭圆C:ax?y?2（a?1）交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）．
（1）若k?1，且四边形OAPB为矩形，求a的值；（a?3）
（2）若a?2，当k变化时（k?R），求点P的轨迹方程．（2x?y?2y?0（y?0））
13
2222
x2y216．双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的离心率为2，其中A(0,?b)，B(a, 0)，且
ab????2????24????2????2（1）求双曲线C的方程； |OA|?|OB|?|OA|?|OB|．
3（2）若双曲线C上存在关于直线l：y?kx?4对称的点，求实数k的取值范围． 解：（I）依题意有：
?c?a?2,?422?22?a?b?ab,
3??a2?b2?c2.?? 解得：a?1,b?
3,c?2.
2y2?1.???????????????6分 所求双曲线的方程为x?3（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．???????????????7分
当k≠0时，设双曲线上两点M、N关于直线l对称．由l⊥MN，直线MN的方程为
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1y??x?b．则M、N两点的坐标满足方程组
k1?y??x?b,?由? 消去y得 k?3x2?y2?3.?(3k2?1)x2?2kbx?(b2?3)k2?0．?????????????9分
显然3k2?1?0，
22?∴??(2kb)2?4(3k2?1)??(b?3)k???0．
即k2b2?3k2?1?0． ① 设线段MN中点D（x0,y0）
?kb?x?,0??3k2?1则? 2?y?3kb.0?3k2?1?∵D（x0,y0）在直线l上，
3k2b?k2b?2?4．即k2b=3k2?1 ② ∴23k?13k?1把②带入①中得 kb+bk?0， 解得b?0或b??1．
2223k2?13k2?1?0或<-1． ∴
k2k2即k?31或k?，且k≠0． 32∴k的取值范围是(??,?
3113)?(?,0)?(0,)?(,??)．???????14分 3223????????17．已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到定直线y =1的距离等于d，并????????????????????2OMCM且满足·AM=K(·BM-d)，其中O为坐标原点，K为参数.
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
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