40．(2011年高考浙江卷)设函数f(x)＝a2ln x－x2＋ax，a>0. (1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立． 注：e为自然对数的底数．
x
41．(2011年高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)e. (1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
1
42．(2011年高考江西卷)设f(x)＝x3＋mx2＋nx.
3
(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式．
(2)如果m＋n＜10(m，n∈N＋)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)
专题一 集合与常用逻辑用语、
函数、导数
一、选择题
5??5?＝f?－1?＝－f?1?＝－2×11．【解析】选A.∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f?－＝f－＋2
?2??2??2??2?2
1?1×?1－＝－. ?2?2
2．【解析】选A.∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴?U(A∪B)＝{6,8}．
232
3．【解析】选A.∵y′＝－3x＋6x，∴y′|x＝1＝3.∴曲线y＝－x＋3x在点(1，2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
4．【解析】选B.∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}． ∴M∩N的子集共有22＝4个． 5．【解析】选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为
222
“若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c<3”．
x
6．【解析】选C.因为y＝－2sin x是奇函数，所以其图象关于原点对称，因此可排除A.
2x11
为求解本题，应先研究＝2sin x，即sin x＝x，在同一坐标系内作出y1＝sin x与y2＝x的图
244
1
象，如图，可知，当x>0时，y1＝sin x与y2＝x只有一个交点，设其交点坐标为(x0，y0)，则
4
1111
当x∈(0，x0)时，sin x>x，即2sin x>x，此时，y＝x－2sin x<0.又f′(x)＝－2cos x，因此
4222
当x>0时，可以有f′(x)>0，也可以有f′(x)<0，即函数有增有减，有多个极值点，且极值点呈周期性，因此可排除B、D，故选C.
7．【解析】选C.A＝{x|x－2>0}＝{x|x>2}＝(2，＋∞)， B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，
∴A∪B＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或x>2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A∪B＝C. ∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 8．【解析】选A.∵f(－x)＝－f(x)，
－xx
∴＝－， ?－2x＋1??－x－a??2x＋1??x－a?
1
∴(2a－1)x＝0，∴a＝.
2
2
9．【解析】选D.f′(x)＝12x－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值， ∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6. 又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab， ∴2ab≤6，
∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立， ∴ab的最大值为9. 10．【解析】选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确． 11．【解析】选B.由M∩?UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
12．【解析】选D.命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，所以选D.
2x＋1＞0，??
13．【解析】选C.由已知得?1
log?2x＋1?≠0，??21??x＞－，
2∴?
?2x＋1≠1，?
1
即x＞－且x≠0，∴选C.
2
14．【解析】选C.若函数f(x)有意义，需满足?
??1－x≠0，?1＋x＞0，?
解得x＞－1且x≠1，故定义
域为(－1,1)∪(1，＋∞)． 15．【解析】选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}． 又∵U＝{1,2,3,4}，∴?U(M∩N)＝{1,4}． 16．【解析】选D.∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)． ∴f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x. 又∵f(x)＋g(x)＝ex，
x－xe－e
∴g(x)＝.
2
17．【解析】选C.若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，两边平方整理，得ab＝0， 且a≥0，b≥0，∴a，b互补．
若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，
即a＝0，b≥0或b＝0，a≥0，此时都有φ(a，b)＝0， ∴φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．
4131231
18．【解析】选B.c＝log3＝log，又<<且函数f(x)＝logx在其定义域上为减函数，
3342343
111213
所以log>log>log，
323334
即a>b>c. 19．【解析】选A.当x＝3时，有x2＝9，但当x2＝9时，x＝3或x＝－3，故“x＝3”是“x2＝9”的充分而不必要的条件．
20．【解析】选B.∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对．
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C不对．
1?|x|
D中y＝2－|x|＝??2?虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B对． 21．【解析】选C.∵f(x)＝ex＋4x－3， ∴f′(x)＝ex＋4>0.
∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．
11
∵f?－?＝e－－4<0， ?4?4
0
f(0)＝e＋4×0－3＝－2<0， 1?1f??4?＝e4－2<0， 11
f??＝e－1>0， ?2?21??1?∴f?f??<0. ?4?·222．【解析】选B.∵2<3.6<4，∴log23.6>1>log43.6. 又∵log43.6>log43.2，∴a>c>b. 23．【解析】选C.∵P＝{x|x<1}，∴?RP＝{x|x≥1}，∴?RP?Q.
24．【解析】选D.设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a
a
＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图
a
象一定不满足该条件．
25．【解析】选A.由题意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.①当a>0时，f(a)＝2a,2a＋2＝0无解；②当a≤0时，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.
26．【解析】选D.由点(a，b)在y＝lg x图象上，知b＝lg a.
111
对于A，点?，b?，当x＝时，y＝lg ＝－lg a＝－b≠b，∴不在图象上．
?a?aa
对于B，点(10a,1－b)，当x＝10a时，y＝lg(10a)＝lg 10＋lg a＝1＋b≠1－b，∴不在图象上．
101010
对于C，点?，b＋1?，当x＝时，y＝lg＝1－lg a＝1－b≠b＋1；
?a?aa
∴不在图象上．
对于D，点(a2,2b)，当x＝a2时，y＝lg a2＝2lg a＝2b，∴该点在此图象上． 27．【解析】选C.在同一直角坐标系中作出函数y＝|x|和y＝cos x的图象，如图．
ππ
当x＞时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1.
22ππππ?
当x＜－时，y＝|x|＞＞1，y＝cos x≤1，所以两函数的图象只在?－
?2，2?内有两个交点，22
所以|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内有两个根．
二、填空题 28．【解析】A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}． 【答案】{－1,2}
44
29．【解析】∵f(x)＝，∴f(a)＝＝2，∴a＝－1.
1－x1－a
【答案】－1 30．【解析】∵U＝R，A＝{x|x≥1}， ∴?UA＝{x|x＜1}． 【答案】{x|x＜1} 31．【解析】依题意，得g(－2)＝f(－2)＋9＝－f(2)＋9＝3，解得f(2)＝6. 【答案】6 32．【解析】画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0,1)．
【答案】(0,1) 33．【解析】∵2
∵2
lg 2lg 2
<<1. lg 3lg a
又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1， ∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.
lg 3lg 3∵1<<，3 lg alg 2∴－1<3－b<0， ∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0. * 由x0∈(n，n＋1)，n∈N知，n＝2. 【答案】2 2 34．【解析】∵x－4x＋n＝0有整数根， 4±16－4n∴x＝＝2±4－n， 2 ∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4. 2 当n＝3时，x－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3； 当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2. ∴n＝3或n＝4. 【答案】3或4 三、解答题 x＋1?a?－ln x?x?b 35．【解】(1)f′(x)＝－2. x(x＋1)2∴ f(1)＝1， ??f′(1)1 由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1，1).故?21 ＝－??2，b＝1，????a＝1， 即?a 1解得? －b＝－.?b＝1.???22 (2)证明：由(1)知f(x)＝ ln x1ln x ＋，所以f(x)－ x＋1xx－1 x2－1?1? ＝2ln x－. 1－x2?x? 222x－122x－?x－1? 考虑函数h(x)＝2ln x－(x>0)，则h′(x)＝－ xxx22 ?x－1?＝－. x2所以当x≠1时，h′(x)<0. 而h(1)＝0， 故当x∈(0,1)时，h(x)>0，可得 1 2h(x)>0； 1－x 1 当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，可得2h(x)>0. 1－xln xln x 从而当x>0，且x≠1时，f(x)－>0，即f(x)>. x－1x－1 36．【解】设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 60－2x 由已知得a＝2x，h＝＝2(30－x)，0 2