第一章 函数与极限
教学目的：
1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系
式。
2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极
限之间的关系。
6、 掌握极限的性质及四则运算法则。
7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极
限的方法。
8、 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、 复合函数及分段函数的概念； 2、 基本初等函数的性质及其图形； 3、 极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、 两个重要极限； 5、 无穷小及无穷小的比较； 6、 函数连续性及初等函数的连续性； 7、 区间上连续函数的性质。 教学难点：
1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数
一、集合 1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示:
- 1 - 1
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}.
描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 A?{a1, a2, ? ? ?, an}, M?{x | x具有性质P }.
例如M?{(x, y)| x, y为实数, x2?y2?1}. 几个数集:
N表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N?{0, 1, 2, ?????, n, ?????}. N??{1, 2, ?????, n, ?????}. R表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z?{?????, ?n, ?????, ?2, ?1, 0, 1, 2, ?????, n, ?????}.
Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.
p Q?{|p?Z,q?N?且p与q互质}
q 子集: 若x?A, 则必有x?B, 则称A是B的子集, 记为A?B(读作A包含于B)或B?A . 如果集合A与集合B互为子集, A?B且B?A, 则称集合A与集合B相等, 记作A?B. 若A?B且A?B, 则称A是B的真子集, 记作A??B . 例如, N??Z??Q??R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算
设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A?B, 即
A?B?{x|x?A或x?B}.
设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A?B, 即
A?B?{x|x?A且x?B}.
设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\\B, 即
A\\B?{x|x?A且x?B}.
如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\\A为A的余集或补集, 记作AC. 集合运算的法则:
设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律A?B?B?A, A?B?B?A;
(2)结合律 (A?B)?C?A?(B?C), (A?B)?C?A?(B?C);
(3)分配律 (A?B)?C?(A?C)?(B?C), (A?B)?C?(A?C)?(B?C); (4)对偶律 (A?B)C?AC ?BC, (A?B)C?AC ?BC.
- 2 - 2
(A?B)C?AC ?BC的证明:
x?(A?B)C?x?A?B?x?A且x?B?x?A C且x?BC ?x?AC ?BC, 所以(A?B)C?AC ?BC.
直积(笛卡儿乘积):
设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A?B, 即 A?B?{(x, y)|x?A且y?B}.
例如, R?R?{(x, y)| x?R且y?R }即为xOy面上全体点的集合, R?R常记作R2. 3. 区间和邻域 有限区间:
设a [a, b] ? {x | a ?x?b }称为闭区间, [a, b) ? {x | a?x 其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b?a称为区间的长度. 无限区间: [a, ??) ? {x | a?x }, (??, b] ? {x | x < b } , (??, ??)?{x | | x | < ??}. 区间在数轴上的表示: 邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设?是一正数, 则称开区间(a??, a??)为点a的?邻域, 记作U(a, ?), 即 U(a, ?)?{x | a??< x < a??} ?{x | | x?a| 其中点a称为邻域的中心, ? 称为邻域的半径. 去心邻域U(a, ?): U(a, ?)?{x |0<| x?a | 二、映射 1. 映射的概念 定义 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作 f : X?Y , 其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即 - 3 - 3 ?? y?f(x), 而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即 D f?X ; X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R f, 或f(X), 即 R f?f(X)?{f(x)|x?X}. 需要注意的问题: (1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f?X; 集合Y, 即值域的范围: R f ?Y; 对应法则f, 使对每个x?X, 有唯一确定的y?f(x)与之对应. (2)对每个x?X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y?R f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集, 即R f ?Y, 不一定R f?Y . 例1设f : R?R, 对每个x?R, f(x)?x2. 显然, f是一个映射, f的定义域D f?R, 值域R f ?{y|y?0}, 它是R的一个真子集. 对于R f 中的元素y, 除y?0外, 它的原像不是唯一的. 如y?4的原像就有x?2和x??2两个. 例2设X?{(x, y)|x2?y2?1}, Y?{(x, 0)||x|?1}, f : X ?Y, 对每个(x, y)?X, 有唯一确定的(x, 0)?Y与之对应. 显然f是一个映射, f的定义域D f?X, 值域R f ?Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[?1, 1]上. (3) f :[?, ]?[?1, 1], 对每个x?[?, ], f(x)?sin x . 2222 f是一个映射, 定义域D f ?[?, ], 值域R f ?[?1, 1]. 22 满射、单射和双射: 设f是从集合X到集合Y的映射, 若R f ?Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x 1?x 2, 它们的像f(x 1)?f(x 2), 则称f为X到Y的单射; 若映射f既是单射, 又是满射, 则称f为一一映射(或双射). 上述三例各是什么映射？ 2. 逆映射与复合映射 设f是X到Y的单射, 则由定义, 对每个y?R f , 有唯一的x?X, 适合f(x)?y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X的新映射g, 即 g : R f ?X, 对每个y?R f , 规定g(y)?x, 这x满足f(x)?y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f ?1, 其定义域Df?1?R f , 值域Rf?1?X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？ 设有两个映射 g : X?Y 1, f : Y 2?Z, 其中Y 1?Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x?X映射成f[g(x)]?Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f构 - 4 - 4 ?????? 成的复合映射, 记作f o g, 即 f o g: X ?Z, (f o g)(x)?f[g(x)], x?X . 应注意的问题: 映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R g?D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同. 例4 设有映射g : R?[?1, 1], 对每个x?R, g(x)?sin x, 映射f : [?1, 1]?[0, 1], 对每个u?[?1, 1], f(u)?1?u2. 则映射g和f构成复映射f o g: R?[0, 1], 对每个x?R, 有 (f?g)(x)?f[g(x)]?f(sinx)?1?sin2x?|cosx|. 三、函数 1. 函数概念 定义 设数集D?R, 则称映射f : D ?R为定义在D上的函数, 通常简记为 y?f(x), x?D, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f?D. 应注意的问题: 记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x?D”或“y=f(x), x?D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 函数符号: 函数y?f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “?”等. 此时函数就记作y?? (x), y?F(x). 函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定. 求定义域举例: 1 求函数y??x2?4的定义域. x 要使函数有意义, 必须x?0, 且x2 ??4?0. 解不等式得| x |?2. 所以函数的定义域为D?{x | | x |?2}, 或D?(??, 2]?[2, ??]). - 5 - 5