单值函数与多值函数: 在函数的定义中，对每个x?D, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x?D, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x和y之间的对应法则由方程x2?y2?r2 给出. 显然, 对每个x?[?r, r]，由方程x2?y2?r2,可确定出对应的y值, 当x?r或x??r时, 对应y?0一个值; 当x取(?r, r)内任一个值时, 对应的y有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.
对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x2?y2?r2给出的对应法则中, 附加“y?0”的条件, 即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支y?y1(x)?r2?x2; 附加“y?0”的条件, 即以“x2?y2?r2且y?0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支
y?y2(x)??r2?x2.
表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集 {P(x, y)|y?f(x), x?D}
称为函数y?f(x), x?D的图形. 图中的R f 表示函数y?f(x)的值域. 函数的例子:
x x?0 例. 函数y?|x|????x x?0.
?称为绝对值函数. 其定义域为D?(??, ??), 值域为R f ?[0, ??). ?1 x?0? 例. 函数y?sgnx??0 x?0.
??1 x?0?称为符号函数. 其定义域为D?(??, ??), 值域为R f ?{?1, 0, 1}.
例 设x为任上实数. 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[ x ]. 函数
y ? [ x ]
称为取整函数. 其定义域为D?(??, ??), 值域为R f ?Z . 5 []?0, [2]?1, [?]?3, [?1]??1, [?3. 5]??4.
7 分段函数:
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.
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??2x 0?x?1 例。 函数y??.
??1?x x?1 这是一个分段函数, 其定义域为D?[0, 1]?(0, ??)? [0, ??). 当0?x?1时, y?2x; 当x>1时, y?1?x.
11?2; f(1)?2 1 ?2; f(3)?1?3?4. 例如f()?222 2. 函数的几种特性
(1)函数的有界性
设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x?X, 有f(x)?K1, 则称函数f(x)在X上有上界, 而称K1为函数f(x)在X上的一个上界. 图形特点是y?f(x)的图形在直线y?K1的下方.
如果存在数K2, 使对任一x?X, 有f(x)? K2, 则称函数f(x)在X上有下界, 而称K2为函数f(x)在X上的一个下界. 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y?K2的上方.
如果存在正数M, 使对任一x?X, 有| f(x) |?M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x)在X上无界. 图形特点是, 函数y?f(x)的图形在直线y? ??M和y ? M的之间.
函数f(x)无界, 就是说对任何M, 总存在x1?X, 使| f(x) | > M. 例如
(1)f(x)?sin x在(??, ??)上是有界的: |sin x|?1.
(2)函数f(x)?1在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界.
x 这是因为, 对于任一M>1, 总有x1:?0?x1?1?1, 使
M f(x1)?1?M,
x1所以函数无上界.
1 函数f(x)?在(1, 2)内是有界的. x (2)函数的单调性
设函数y ? f(x)的定义域为D, 区间I ?D. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 f(x1)< f(x2), 则称函数f(x)在区间I上是单调增加的. 如果对于区间I上任意两点x1及x2, 当x1 - 7 - 7 则称函数f(x)在区间I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数y ? x2在区间(??, 0]上是单调增加的, 在区间[0, ??)上是单调减少的, 在（??, ??）上不是单调的. (3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x?D, 则?x?D). 如果对于任一x?D, 有 f(?x) ? f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果对于任一x?D, 有 f(?x) ? ?f(x), 则称f(x)为奇函数. 偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y?x2, y?cos x 都是偶函数. y?x3, y?sin x都是奇函数, y?sin x?cos x是非奇非偶函数. (4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一x?D有(x?l)?D, 且 f(x?l) ? f(x) 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期. 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状. 3．反函数与复合函数 反函数: 设函数f : D?f(D)是单射, 则它存在逆映射f ?1: f(D)?D, 称此映射f ?1为函数f的反函数. 按此定义, 对每个y?f(D), 有唯一的x?D, 使得f(x)?y, 于是有 f ?1(y)?x. 这就是说, 反函数f ?1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的. 一般地, y?f(x), x?D的反函数记成y?f ?1(x), x?f(D). 若f是定义在D上的单调函数, 则f : D?f(D)是单射, 于是f的反函数f ?1必定存在, 而且容易证明f ?1也是f(D)上的单调函数. 相对于反函数y?f ?1(x)来说, 原来的函数y?f(x)称为直接函数. 把函数y?f(x)和它的反函数 y?f ?1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y?x是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y?f(x)图形上的点, 则有b?f(a). 按反函数的定义, 有a?f ?1(b), 故Q(b, a)是y?f ?1 (x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y?f ?1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y?f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y?x对称的. 复合函数: - 8 - 8 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述. 设函数y?f(u)的定义域为D 1, 函数u?g(x)在D上有定义且g(D)? D 1, 则由下式确定的函数 y?f[g(x)], x?D 称为由函数u?g(x)和函数y?f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数g与函数f构成的复合函数通常记为f?g, 即 (f?g)?f[g(x)]. 与复合映射一样, g与f构成的复合函数f?g的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)?D f. 否则, 不能构成复合函数. 例如, y?f(u)?arcsin u, 的定义域为[?1, 1], u?g(x)?21?x2在D?[?1, ?上有定义, 且g(D)?[?1, 1], 则g与f可构成复合函数 y?arcsin21?x2, x?D; 但函数y?arcsin u和函数u?2?x2不能构成复合函数, 这是因为对任x?R, u?2?x2均不在y?arcsin u的定义域[?1, 1]内. 多个函数的复合: 4. 函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D 1, D 2, D?D 1?D 2??, 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差)f ?g : (f ?g)(x)?f(x)?g(x), x?D; 积f ?g : (f ?g)(x)?f(x)?g(x), x?D; fff(x) 商: ()(x)?, x?D\\{x|g(x)?0}. ggg(x) 例11设函数f(x)的定义域为(?l, l), 证明必存在(?l, l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使 得 f(x)?g(x)?h(x). 分析 如果f(x)?g(x)?h(x), 则f(?x)?g(x)?h(x), 于是 11 g(x)?[f(x)?f(?x)], h(x)?[f(x)?f(?x)]. 2211 证 作g(x)?[f(x)?f(?x)], h(x)?[f(x)?f(?x)], 则 f(x)?g(x)?h(x), 221且 g(?x)?[f(?x)?f(x)]?g(x), 211 h(?x)?[f(?x)?f(x)]??[f(x)?f(?x)]??h(x). 2233]?[, 1]22 5. 初等函数 - 9 - 9 基本初等函数: 幂函数: y?x ? (??R是常数); 指数函数: y?a x(a?0且a?1); 对数函数: y?loga x (a?0且a?1, 特别当a?e时, 记为y?ln x); 三角函数: y?sin x, y?cos x, y?tan x, y?cot x, y?sec x, y?csc x; 反三角函数: y?arcsin x, y?arccos x, y?arctan x, y?arccot x . 初等函数: 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如 y?1?x2, y?sin2x, y?cot等都是初等函数. 双曲函数: 双曲正弦: shx?e?e2x?xx 2yy=chx11exy= 2O-11y=shx1e-xy= 2x; ex?e?x 双曲余弦: chx?; 2shxex?e?x? 双曲正切: thx?. chxex?e?x 双曲函数的性质: sh(x?y)?sh x?ch y?ch x?sh y; ch(x?y)?ch x?ch y?sh x?sh y. ch2x?sh2x?1; sh2x?2sh x?ch x; ch2x?ch2x?sh2x . 下面证明 sh(x?y)?sh x?ch y?ch x?sh y: yy=thxOxex?e?xey?e?yex?e?xey?e?yshxchy?chxshy???? 2222ex?y?ey?x?ex?y?e?(x?y)ex?y?ey?x?ex?y?e?(x?y)?? 44- 10 - 10