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2010届高考数学压轴试题集锦（十）
1.已知f?x?定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有f?ab??af?b??bf?a?，且f?2??1
?1?（1） 求f??的值
?2?（2） 求f2?n的解析式（n?N?）
2. 设函数f?x??xx?a?b
（1）求证：f?x?为奇函数的充要条件是a2?b2?0
（2）设常数b＜22?3，且对任意x??0,1?，f?x?＜0恒成立，求实数a的取值范围
3.已知函数f(x)?x2?(a?3)x?a2?3a（a为常数）.
（1）如果对任意x?[1,2],f(x)?a2恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p,q,r满足：p,q,r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f(x)?0 的
两实根，判断①p?q?r，②p2?q2?r2，③p3?q3?r3是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g(a)，并求g(a)的最小值；
??
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（3）对于（2）中的g(a)，设Ha()??[ga()27]?16，数列{an}满足an?1?H(an) (n?N*)，
且a1?(0,1)，试判断an?1与an的大小，并证明.
4．如图，以A1，A2为焦点的双曲线E与半径为c的圆O相交于C，D，C1，D1，连接CC1与OB交于点H，且有：OH?(3?23)HB。其中A1，A2，B是圆O与坐标轴的交点，c为双曲线的半焦距。
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意正实数c，双曲线E的离心率为常数。 （3）连接A1C与双曲线E交于F，是否存在 实数?,使A1F??FC恒成立，若存在，试求出?的值； 若不存在，请说明理由.
13ax?bx2?cx(a?b?c),其图象在点A(1,f(1),B(m,f(m))处的切线3b的斜率分别为0，－a. （1）求证：0??1 ；
a5.设函数f(x)? （2）若函数f（x）的递增区间为[s，t]，求|s－t|的取值范围.
（3）若当x≥k时，（k是a，b，c无关的常数），恒有f'(x)?a?0，试求k的最小值
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f(x)(x?0)6. 设函数f(x)?ax2?bx?1(a,b为实数),F(x)?? ??f(x)(x?)? （1）若f(?1)?0且对任意实数均有f(x)?0成立，求F(x)表达式；
（2）在（1）在条件下，当x?[?2,2]时，g(x)?f(x)?kx是单调函数，求实数k的取值
范围；
（3）设mn<0，m+n>0，a>0且f(x)为偶函数，证明F(m)?F(n)?0.
7. 在平面直角坐标系内有两个定点F1、F2和动点P，F1、F2坐标分别为F1(?1,0) 、F2(1,0)，动点P满足
|PF21|，动点P的轨迹为曲线C，曲线C关于直线y?x的对称曲线为曲线?|PF2|2C'，直线y?x?m?3与曲线C'交于A、B两点，O是坐标原点，△ABO的面积为7， （1）
求曲线C的方程；（2）求m的值。
8.数列?an?，a1?1,an?1?2an?n2?3n(n?N?) 若不存在，说明理由。
⑵设bn?
1，San?n?2n?1n⑴是否存在常数?、?，使得数列?an??n2??n?是等比数列，若存在，求出?、?的值，
?b1?b2?b3???bn，证明：当n?2时，
6n5?Sn?.
(n?1)(2n?1)3
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9、数列{an}的前n项和为Sn,a1?10,an?1?9Sn?10。 （I）求证：{lgan}是等差数列；
??3（Ⅱ）设Tn是数列??的前n项和，求Tn；
(lga)(lga)nn?1??12?（Ⅲ）求使Tn?(m?5m)对所有的n?N恒成立的整数m的取值集合。
4
10、（2009天津一中3月月考）已知数列｛an｝中，a1?上，其中n=1,2,3….
（1）令bn?an?1?an?1,求证数列?bn?是等比数列; （2）求数列?an? 的通项； ⑶ 设Sn、Tn分别为数列?an?使得数列??bn?的前n项和,是否存在实数?，、等差数列？若存在，试求出?.若不存在,则说明理由。
1,点（n,2an?1?an）在直线y=x2?Sn??Tn??为n??
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参考答案：
1．解：（1）令a=b=1 求得f?1??0 2分
1?1??1?1?1? 又 f?1??f?2???2f???f?2? ∴f???? 5分
2?4??2?2?2? （
2
）
f2?n?f2?1?21?n?2?1f21?n?21?nf2?1????????，∴
2nf2?n?2n?1f21?n?2?1.
令 bn?2nf2?n ， ∴bn?bn?1?2?1， 9分 ∴ 数列 ?bn?是以公差d=???????11?1? b1?2f????的等差数列 12分
22?2?nn?1? ∴ bn?b1??n?1?????， ∴bn??，∴f2?n??n?1 14分
22?2???2．解：（1）充分性：若a2?b2?0 ∴a=b=0
∴f?x??xx 对任意的x?R都有f??x??f?x??0 ∴f?x?为奇函数，故充分性成立. 2分 必要性：若f?x?为奇函数
则对任意的x?R都有f??x??f?x??0恒成立， 即 ?x?x?a?b?xx?a?b?0
令x=0 ，得b=0；令x=a ，得a=0 。∴ a2?b2?0 6分 （2）由b＜22?3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立 当0＜x≤1时 f?x?＜0恒成立，也即x?令g?x??x?bb＜a＜x?恒成立 xxb在0＜x≤1上单调递增，∴a＞gmax?x??g?1??1?b 10分 xb 令h?x??x? ， 则h?x?在0,?b上单调递减，?b,??单调递增
xb1?当b＜?1时 h?x??x?在0＜x≤1上单调递减
x????∴ a＜hmin?x??h?1??1?b。∴1?b＜ a＜1?b 。 12分