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2?当?1≤b＜22?3时， h?x??x?b≥2?b， x∴a＜hmin?x??2?b，∴ 1?b＜ a＜2?b 14分
3．解：（1）?f(x)?a2?x2?(a?3)x?3a?0，?(x?3)(x?a)?0对x?[1,2]恒成立， 又?x?3?0恒成立，?x?a?0对x?[1,2]恒成立，?a??x,又?x?[?2,?1]，?a??2. （2）由??(a?3)2?4(a2?3a)?0得：?1?a?3， 不妨设a?p，则q，r恰为方程两根，由韦达定理得： ①p?q?r?3,qr?a2?3a,
?②p2?q2?r2?a2?(q?r)2?2pr?a2?(3?a)2?2(a2?3a)?9
③而p3?q3?r3?a3?(q3?r3)?a3?(q?r)[q2?qr?r2]?3a3?9a2?27. 设g(a)?3a3?9a2?27，求导得：g(a)?9a2?18a?9a(a?2)
当a?[2,3]时，g(a)?0,g(a)递增；当a?[0,2]时，g(a)?0,g(a)递减； 当a?[?1,0]时，g(a)?0,g(a)递增，
?g(a)在[?1,3]上的最小值为min{g(?1),g(2)}?min{15,15}?15
11H(a)??[g(a)?27]??(3a3?9a2),6631H?(a)?3a?a2?3a(1?a)?0
22?H(a)(0,1)在为递
（
3
）
如果a?(0，则
增函数，
1?H(a)?(H(0),H(1))?(0,1),?an?1?H(an)??(3an3?9an2)
6?a1?(0,1)?a2?(0,1)???an?(0,1)??
又?an?1?an??an3?an2?an??an(an?2)(an?1)?0，?an?1?an. 4．（1）由c=1知B（0，1），∵OH?(3?23)HB， ∴xH?0,yH?1232123?234?23?3 2即 H(0,313), 点C在单位圆上，∴C?(,) 222x2y2设双曲线E的方程为 2?2?1(a?0,b?0).
ab
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?23?a2?b2?1,?a?1???2
由点C的双曲线E上，半焦距c=1有：?1解得?3?2?2?1,?b2?34b?4a?2?所以双曲线E的方程为：
x21?32?y232?1.
（2）证明：∵A1（－c，0），B（0，c），由 OH?(3?23)HB得:H(0,22313c),C(c,c), 222?a2?b2?c2①xy?22设双曲线E的方程为 2?2?1(a?0,b?0), ∴ ?c 3cab?2?2?1②4b?4a①代入②，化简整理得 3a?6ab?b?0,?()?6()?3?0 解得 ()?3?23.
4224ba4ba2ba2c2b2又 e?2?1?()?4?23.∴e?4?23?3?1，即双曲线E的离心离是
aa2与c无关的常数。
（3）假设存在实数
?,使A1F??FC恒成立，A1(?c,0),C(,c23c)有2?c?xF?c3????2,y?2 F1??1???c23c2?2?2?1③c(??2)3c?4b?4a点F(F都在双曲线E上，故有?2 ,,点C，2222(1??)2(1??)c(??2)3c???2④222?4b(1??)?4a(1??)3c2c2e2?4由③得e?2?4?2?⑤
3bb2e2(??2)2?22⑤代入④得?(e?4)??1,化简整理得??e2?e2?2??1 224(1??)4(1??)e2?13?231?3即??2,利用（2）小题的结论得：???,
4e?26?23
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故存在实数??1?3,使A1F??FC恒成立. 45．（1）?f'(x)?ax2?2bx?c,由题意及导数的几何意义得f'(1)?a?2b?c?0①
f'(m)?am2?2bm?c??a②
又a?b?c,可得4a?a?2b?c?4c,即4a?0?4c,故a?0,c?0 由①得c??a?2b，代入a?b?c,再由a?0,得?21b??1③ 3a2将c=－a－2b代入②得am?2bm?2b?0即方程ax?2bx?2b?0有实根， 故判别式??4b?8ab?0,得()?2()?0,得由③、④得0?b?1
a2ba2babb??2,或?0④ aa（2）由f'(x)?ax2?2bx?c的判别式?'?4b2?4ac?0 知方程f'(x)?ax2?2bx?c?0(*)有两个不等实根，设为x1，x2， 又由f'(1)?a?2b?c?0知，x1?1为方程（*）的一个实根， 则由根与系数的关系得x1?x2??'2b2b,x2???1?0?x1 aa'当x＜x2，或x＞x1时，f(x)?0,当x2?x?x1时f(x)?0 故函数f（x）的递增区间为[x2，x1]，由题设知[x2，x1]=[s，t]， 因此|s?t|?|x1?x2|?2?（3）由
2ba,由（1）知0?ba?1得|s?t|的取值范围为[2，4)
f'(x)?a?0,即ax2?2bx?a?c?0即ax2?2bx?2b?0
因此a＜0，得x2?2b?2b?0,整理得(2x?2)?b?x2?0
xaabbb设g()?(2x?2)??x2,可以看作是关于的一次函数，由题意，
aaag(1)?0?x2?2x?2?0?bb?g()?0对于0??1恒成立故?即?2得x??3?1或x?3?1 aa?g(0)?0??x?0由题意[k,??)?(??,?3?1)?[3?1,??)，故k?3?1,因此k的最小值为3?1
，由f(x)?0恒成立知： 6．（1）∵f(?1)?0，∴b?a?1??b2?4a?(a?1)2?4a?(a?1)2?0，
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2?(x?0)?(x?1)∴a=1，从而f(x)?x?2x?1,?F(x)?? 2?(x?0)??(x?1)2（2）由（1）知f(x)?x2?2x?1,?g(x)?f(x)?kx?x2?(2?k)x?1, 由g(x)在[－2，2]上是单调函数知：?2?k2?k??2或??2，得k??2或k?6. 22（3）∵f(x)是偶函数，∴f(?x)?f(x)而a?0,?f(x)在[0,??)为增函数，对于F(x)， 当x?0时， ?x?0, ?x?0,F(?x)??f(?x)??f(x)??F(x)，当x?0时，F(?x)?f(?x)?f(x)??F(x)，∴F(x)是奇函数，且F(x)是在[0,??)上为增函数，
当mn<0，m、n异号，
(i)当m?0,n?0时，由m??n?0知F(m)?F(?n)??F(n) ∴F(m)?F(n)?0.
∴F(m)?F(n)?0. (ii)当m?0,n?0时，由n??m?0知F(n)?F(?m)??F(m)，综上可知F(m)?F(n)?0.
7、解：（1）设P点坐标为(x,y)，则
22(x?1)2?y2(x?1)2?y2?2，化简得(x?3)2?y2?8， 2所以曲线C的方程为(x?3)?y?8；
（2）曲线C是以(?3,0)为圆心，22为半径的圆 ，曲线C'也应该是一个半径为22的圆，
22点(?3,0)关于直线y?x的对称点的坐标为(0,?3)，所以曲线C'的方程为x?(y?3)?8，
该圆的圆心(0,?3)到直线y?x?m?3的距离d为 d?|0?(?3)?m?3|1?(?1)22?|m|2，
S△ABO11m2m22??d?|AB|??d?28?d?(8?)??7 2222m2m2??1，或?7，所以，m??2，或m??14。
228. ⑴解:设 an?1?2an?n2?3n可化为an?1??(n?1)2??(n?1)?2(an??n2??n)， 即an?1?2an??n2?(??2?)n???? …………………………… (2分)
????1? 故???2??3??????0?????1 …………………………… (4分) 解得???1?
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∴an?1?2an?n2?3n可化为an?1?(n?1)2?(n?1)?2(an?n2?n) ………(5分) 又a1?12?1?0 ……………………………………………………………………(6分) 故存在???1,??1使得数列an??n2??n?是等比数列 ……………(7分)
?⑵证明：由⑴得 an?n2?n?(a1?12?1)?2n?1 ∴an?2n?1?n2?n， 故 bn?∵ bn?11? ……………………………………………… (8分) n?12an?n?2n14422???? ………………………… (9分) n24n24n2?12n?12n?1222222?) ∴n?2时,Sn?b1?b2?b3???bn?1?(?)?(?)???(35572n?12n?1225? ……………………………………（11分） ?1??32n?13现证Sn?6n(n?1)(2n?1)(n?2).
当n?2时Sn?b1?b2?1?6n1245415??,?， ?,而(n?1)(2n?1)3?554544故n?2时不等式成立 ………………………………………………（12分）
1111??当n?3时,由bn?2?得
n(n?1)nn?1n1111111Sn?b1?b2?b3???bn?(1?)?(?)?(?)???(?)
22334nn?11n6，且由2n?1?6， ?1??得1?n?1n?12n?1n6n? …………………………………… （14分） n?1(n?1)(2n?1)9、解：（I）依题意，a2?9c1?10?100
a故2?10 a1 当n?2时，an?1?9Sn?10
∴Sn? an?9Sn?1?10 ①-②得：
an?1?10 an故{an}为等比数列，且an?a1qn?1?10n(n?N?)，
?lgan?n
?lgaa?1?lgan?(n?1)?n?1 即{lgan}是等差数列
111????) （Ⅱ）由（I）知，Tn?3(1?22?3n(n?1)111113)?3? ?3(1???????
223nn?1n?13（Ⅲ）?Tn?3?
n?1