2015专题五：函数与导数
在解题中常用的有关结论（需要熟记）：
(1)曲线y?f(x)在x?x0处的切线的斜率等于f?(x0)，切线方程为y?f?(x0)(x?x0)?f(x0) (2)若可导函数y?f(x)在 x?x0 处取得极值，则f?(x0)?0。反之，不成立。 （?0）(3)对于可导函数f(x)，不等式f?(x)?0的解集决定函数f(x)的递增（减）区间。 (4)函数f(x)在区间I上递增（减）的充要条件是：?x?If?(x)?0(?0)恒成立 (5)函数f(x)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程（若f?(x)为二次函数且f?(x)?0在区间I上有实根且为非二重根。I=R，则有??0）。 (6)f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f?(x)?0或f?(x)?0在I上恒成立 (7)若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)min?0; 若?x?I，f(x)?0恒成立，则f(x)max?0 (8)若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)max?0；若?x0?I，使得f(x0)?0，则f(x)min?0. (9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D若?x?D f(x)?g(x)恒成立则有?f(x)?g(x)?(10)若对?x1?I1、x2?I2 ，f(x1)?g(x2)恒成立，则f(x)min?g(x)max. 若对?x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2),则f(x)min?g(x)min. 若对?x1?I1，?x2?I2，使得f(x1)?g(x2)，则f(x)max?g(x)max. （11）已知f(x)在区间I1上的值域为A,，g(x)在区间I2上值域为B， 若对?x1?I1,?x2?I2，使得f(x1)=g(x2)成立，则A?B。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程f?(x)?0有两个不等实根x1、x2，且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① lnx?x?1(x?0)② ln（x+1）?x(x??1)③ ex?1?x ④ e?xmin?0 ?1?x⑤ lnx11lnxx?1??(x?0) ?(x?1)⑥ 22x22xx?12
考点一：导数几何意义：
角度一 求切线方程
π?3
1．(2014·洛阳统考)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′?，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x上一?4?点P(a，b)的切线方程为( )
A．3x－y－2＝0 B．4x－3y＋1＝0
C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0
π?ππ解析：选A 由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，则a＝f′?＝3－2sin＋2cos＝1.由y?4?22＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为(1,1)，故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
角度二 求切点坐标
2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是( )
A．(0,1) C．(1,3)
B．(1，－1) D．(1,0)
3
解析：选C 由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)．
x
角度三 求参数的值
17
3．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为
22(1，f(1))，则m等于( )
A．－1 C．－4
1
解析：选D ∵f′(x)＝，
x∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1， 又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)， 127
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x0＋mx0＋，m<0，
22于是解得m＝－2，故选D.
考点二：判断函数单调性，求函数的单调区间。
B．－3 D．－2
[典例1]已知函数f(x)＝x2－ex试判断f(x)的单调性并给予证明． 解：f(x)＝x2－ex，f(x)在R上单调递减， f′(x)＝2x－ex，只要证明f′(x)≤0恒成立即可． 设g(x)＝f′(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex， 当x＝ln 2时，g′(x)＝0， 当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)>0， 当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)<0.
∴f′(x)max＝g(x)max＝g(ln 2)＝2ln 2－2<0， ∴f′(x)<0恒成立， ∴f(x)在R上单调递减．
[典例2] (2012·北京高考改编)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间． [解] (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b， f?1?＝a＋1＝c，??
＝1＋b＝c，由已知可得?g?1?
??2a＝3＋b，
3
2
解得a＝b＝3.
a2a2aa2
(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x＋ax＋x＋1，F′(x)＝3x＋2ax＋，令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，
4426∵a>0，∴x1 aa 由F′(x)>0得，x<－或x>－； 26aa 由F′(x)<0得，－ aaaa－∞，－?，?－，＋∞?；单调递减区间为?－，－?. ∴单调递增区间是?2??66????2[针对训练] (2013·重庆高考)设f(x) ＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)． (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 6 解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋. x 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)·(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6， 1故a＝. 2 1 (2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)， 2x－3?6?x－2?? f′(x)＝x－5＋＝. xx 令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3. 当0 9 由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 2考点三：已知函数的单调性求参数的范围 [典例] (2014·山西诊断)已知函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax(a∈R)． (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围． [解] (1)当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)， 2x2－x－11 f′(x)＝－2x＋1＝－， xx 2x2－x－11令f′(x)＝0，即－＝0，解得x＝－或x＝1. x2∵x>0，∴x＝1. 当0 ∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． (2)显然函数f(x)＝ln x－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)， －2a2x2＋ax＋1－?2ax＋1??ax－1?12 ∴f′(x)＝－2ax＋a＝＝. xxx1 ①当a＝0时，f′(x)＝>0， x ∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意． 1 ②当a>0时，f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax＋1)·(ax－1)≥0(x>0)，即x≥， a1 ，＋∞?. 此时f(x)的单调递减区间为??a?1??a≤1， 由?得a≥1. ??a>0， 11 －，＋∞?. ③当a<0时，f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax＋1)·(ax－1)≥0(x>0)，即x≥－，此时f(x)的单调递减区间为??2a?2a1??－2a≤1，1 由?得a≤－. 2 ??a<0， 1 －∞，－?∪[1，＋∞)． 综上，实数a的取值范围是?2??[针对训练] 1a (2014·荆州质检)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. 32(1)求b，c的值； (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b， ??＝1，?f?0??c＝1，?由题意得即? ?f′?0??＝0，??b＝0. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0， 当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2， 依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立， 2 x＋?max＝－22， 即x∈(－2，－1)时，a 当且仅当“x＝”即x＝－2时等号成立， x所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22)． 考点四：用导数解决函数的极值问题 a [典例] (2013·福建高考节选)已知函数f(x)＝x－1＋x(a∈R，e为自然对数的底数)． e(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)求函数f(x)的极值． aa [解] (1)由f(x)＝x－1＋x，得f′(x)＝1－x. ee又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴， a 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e. ea (2)f′(x)＝1－x， e ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值． ②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a. x∈(－∞，ln a)，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 故f(x)在x＝ln a处取得极小值， 且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值． [针对训练] 1 设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图像关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0. 2(1)求实数a，b的值；