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(2014·东北三校联考)已知函数f(x)＝x2－ax3(a>0)，函数g(x)＝f(x)＋ex(x－1)，函数g(x)的导函数为g′(x)．
23(1)求函数f(x)的极值； (2)若a＝e，
(ⅰ)求函数g(x)的单调区间；
(ⅱ)求证：x>0时，不等式g′(x)≥1＋ln x恒成立． 1
x－?， 解：(1)f′(x)＝x－ax2＝－ax??a?1
∴当f′(x)＝0时，x＝0或x＝，又a>0，
a1
0，?时， ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈??a?1?f′(x)>0；当x∈??a，＋∞?时，f′(x)<0， ∴f(x)的极小值为f(0)＝0， 1?1
f(x)的极大值为f??a?＝6a2. 11
(2)∵a＝e，∴g(x)＝x2－ex3＋ex(x－1)，
23g′(x)＝x(ex－ex＋1)．
(ⅰ)记h(x)＝ex－ex＋1，则h′(x)＝ex－e， 当x∈(－∞，1)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数， ∴h(x)≥h(1)＝1>0， 则在(0，＋∞)上，g′(x)>0； 在(－∞，0)上，g′(x)<0，
∴函数g(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． 1＋ln x
(ⅱ)证明：x>0时，g′(x)＝x(ex－ex＋1)≥1＋ln x?ex－ex＋1≥，
x由(ⅰ)知，h(x)＝ex－ex＋1≥1， 记φ(x)＝1＋ln x－x(x>0)，则φ′(x)＝
1－x
， x
在区间(0,1)上，φ′(x)>0，φ(x)是增函数； 在区间(1，＋∞)上，φ′(x)<0，φ(x)是减函数， 1＋ln x
∴φ(x)≤φ(1)＝0，即1＋ln x－x≤0，≤1，
x1＋ln x
∴ex－ex＋1≥1≥，即g′(x)≥1＋ln x恒成立．
x