广州市越秀区2010届高三理科数学高考模拟试题（一）答案
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D A D C B A 解题提示：8．设曲线y?ln(2x?1)的一条切线为2x?y?c?0，切点为点P(x,y)，则y'?2?2，2x?1?x?1，代入y?ln(2x?1)得y?0，所以切点坐标为P(1,0)，则点P到直线2x?y?3?0距离为
所求，所以d?2?32?(?1)22?5．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共6小题，每小题5分，满分30分． 9．x?2y?5?0 10．[?2,??) 11．14．(??,0)?(10,??) 15．
3n?2? 12． 13．280
n?163 2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）由向量m,n共线有： 2sin(A?C)?2cos即tan2B?3，又0?B?则2B=
????2B??1??3cos2B, 2??2，所以0?2B??，
??，即B?． ??????????????6分
6322222（2）由余弦定理得b?a?c?2accosB,
则1?a?c?3ac?(2?3)ac，
所以ac?2?3,当且仅当a?c时等号成立 ， 所以S?ABC?11acsinB?(2?3)． ??????????????12分 2417．（本小题满分12分）
n?n?1?n?n?1? 2解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知：1?C??7?67C7?622n27∴n?n?1??6，解得n?3或n??2（舍去），即袋中原有3个白球．?????4分 （2）由题意，?的可能取值为1，2，3，4，5，
P???1??34?324?3?36，P???2??， ?，P???3???77?677?6?5354?3?2?334?3?2?1?31，P???5??． ?????6分 P???4????7?6?5?4357?6?5?4?3352010广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 6 页 共 9 页
所以，取球次数?的分布列为：
? P 1 2 3 4 5 37 27 635 335 13532631E??1??2??3??4??5??2. ??????????????8分
77353535（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到 白球”的事件为A，则P?A??P?“??1”或“??3”或“??5”因为事件“??1”“??3”“??5”两两互斥，所以 P?A??P???1??P???3??P???5??36122．??12分
???7353535?，
18．（本小题满分14分） 解：以A为原点，以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z的正半轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AA1=2,可知各点坐标分别为：A(0,0,0,),B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1) ??2分 （1）?DE???1,2,0?, 设点G（-1，2，0），则AG?(?1,2,0)
?DE∥AG，AG?平面ABC， DE?平面ABC?DE∥平面ABC ????5分
?????????????B1F???1,1,?2?,EF??1,?1,?1?,AF??1,1,0?， （2）证明：????????????????????B1F?EF?(?1)?1?1?(?1)?(?2)?(?1)?0,B1F?AF?(?1)?1?1?1?21?0?0, ???????????????????B1F?EF,B1F?AF,又AF?EF?F,?B1F?平面AEF，?B1F?平面B1FA?平面B1FA?平面AEF． ?????????????????????9分
（3）由（2）可知：
?????B1F???1,1,?2?是平面AEF的一个法向量,设二面角B1?AE?F的大小为?，? 根据已知得?为锐角,设平面AEB1的一个法向量为n??x,y,1?,
???????????????n?AE?0?AE??0,2,1?,AB1??2,0,2?且??????，??n?AB1?0??????1??n?B1F?2y?1?01?6?y?????,解得?．??????14分 ??2,?n???1,?,1?，?cos???????2?6?nB1F?2x?2?0??x??119．（本小题满分14分）
x2y2解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为2?2?1(c?0)， ???1分
2ccA(x1,y1)、B(x2,y2)，将y?1?x代入椭圆得3x2?4x?2?2c2?0， ???2分 ????????x?3x2∵AC?3CB，又C(1,0)，∴ 1?1， ???3分
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?x1?3x2?1?4?x1?0??44??∴?x1?x2?， ???4分， ??x2? ， ???5分
33????2?2c2?c?1x?x??123?x2∴所求的椭圆E的方程为?y2?1． ???6分
22x12x222（Ⅱ）设M(x1,y1)、N(x2,y2)，则?y1?1，?y2?1， ???7分
221x01又设MN的中点为(x0,y0)，则以上两式相减得：???， ???8分
2y04m??y0?2x0?x0??∴?，???9分， ??2， ???10分
y?4x?m0?0??y0??m2x02又点(x0,y0)在椭圆内，∴?y0?1， ???12分
21m22222?m?即，?． ???14分 ?m2?1，∴?332420．（本小题满分14分） 解：解：（1）f?(x)?2x?2?
a，?f(x)在（0，1）上单调， x??x(0,1),f?(x)?0或?x?(0,1)，f?(x)?0，
?a??2(x2?x)或a??2(x2?x)，从而a?0或a??4 ??????6分
2（2）因为f(2t?1)?2f(t)?3?2(t?1)?2alnt?aln(2t?1)?0 ①
令g(t)?2(t?1)?2alnt?aln(2t?1)则g?(t)?4(t?1)?2[ 2a2a2(t?1)[2t(2t?1)?a] ??t2t?1t(2t?1)
当a?2时，?t?1,?t?1?0,2t(2t?1)?2，?g?(t)?0对t?1恒成立，
?g(t)在?1,???上递增，?g(t)?g(1)?0，即1式对t?1恒成立，
当a?2时，令g?(t)?0且t?1，解得1?t?
1?1?4a 4
于是，g(t)在[1,1?4a1?1?4a]上递减，在[,??]上递增， 442010广州市越秀区高三理科数学模拟试题 第 8 页 共 9 页
从而有g(1?1?4a)?g(1)?0，即①式不可能恒成立， 4 综上所述a?2.?????????????14分 21．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ)设?an?的公差为d，则：a2?a1?d，a5?a1?4d，
?a1?d?6∵a2?6，a5?18，∴?，∴a1?2,d?4． ?????????2分
a?4d?18?1∴an?2?4(n?1)?4n?2． ????????????????4分
12b1?1，得b1?． ???????5分 2311当n?2时，?Tn?1?bn，Tn?1?1?bn?1，
2211∴Tn?Tn?1=(bn?1?bn) ，即bn?(bn?1?bn)． ??????????7分
221 ∴bn=bn?1． ???????????????????????8分
321∴?bn?是以为首项，为公比的等比数列． ?????????????9分
3321n?11n（Ⅲ）由（2）可知：bn??()?2?()． ???????????10分
3331n1n∴cn?an?bn?(4n?2)?2?()?(8n?4)?()． ?????????????11分
33（Ⅱ）当n?1时，b1?T1，由T1?∴Sn?c1?c2???cn?1?cn?4?()?12?()2???(8n?12)?()n?1?(8n?4)?()n．
1313131311111Sn?4?()2?12?()3???(8n?12)?()n?(8n?4)?()n?1． 3333312112131n1n?1∴Sn?Sn?Sn?4??8?()?8?()???8?()?(8n?4)?()
333333311()2?[1?()n?1]413??8?3?(8n?4)?()n?1
1331?3811??4?()n?(8n?4)?()n?1． 3331n∴Sn?4?4(n?1)?()． ????????????????14分
3∴
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