长安一中2013-2014学年度高三第一学期第三次教学质量检
测 数学试题
(150分，120分钟)
一．选择题 （每小题５分，共50分）
1．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279 2．设z?13?i(i是虚数单位），则z?2z2?3z3?4z4?5z5?6z6?（ ） 222A．6z B．6z C．6z D．?6z 3．给定两个命题p，q.若?p是q的必要而不充分条件，则p是?q的( ) A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数y?xcosx?sinx的图像大致为( )
A B C D
?2x?y?2?0,?5．在平面直角坐标系xoy中，M为不等式组?x?2y?1?0,所表示的区域上一动点，则
?3x?y?8?0,?直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．?11 D．? 326．过点(3,1)作圆(x?1)2?y2?1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 A．2x+y-3=0 B．2x-y-3=0 C．4x-y-3=0 D．4x+y-3=0 7．将函数y?sin(2x??)的图象沿x轴向左平移
A．
?的一个可能取值为( )
3??4 B．
?个单位后，得到一个偶函数的图象，则84 C．0 D．??4
8．已知三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为
9，底面是边长为3的正三角形.4若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为
5????. B． C． D． 12346x?x''9．设a?R，函数f(x)?e?a?e的导函数是f(x)，且f(x)是奇函数。若曲线y?f(x)A．
的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（ ）
?ln2 A.ln2 B．?ln2 C．ln2 D．22?1?10．已知定义域为R的函数f(x)??x?1?1?(x?1)，若关于x的方程
(x?1)f2(x)?bf(x)?c?0有3个不同的实根x1,x2,x3，则x12?x22?x32等于( )
2b2?23c2?2A．13 B． C． 5 D． 22bc 第Ⅱ卷（非选择题 共5道）
二.简答题 （每小题5分，共25分） 11. 方程
31x?1的实数解为__________________ ??3x3?13
12. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应________(请用k的不等关系填写，如k>10等)
13. 设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且?CBA?AB=4，BC?
14. 若cosxcosy?sinxsiny?则sin(x?y)?________
15. A. (选修4—5不等式选做题)若关于x的不等式
?4，若
2，则椭圆的两个焦点之间的距离为________
12,sin2x?sin2y?， 23x?3?x?2?log2a有解，则实数a的取值范围是： .
B. (选修4—1几何证明选做题)如图，四边形ABCD是圆O 的内接四边形，延长AB和DC相交于点P. 若为 .
PB1PC1BC的值?，?，则
PA2PD3AD
??x?3?22cos?C. (选修4—4坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为?（?为
??y??1?22sin?参数），以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为
2，则曲线C上到直线距离为2的点的个数为： . ??cos??sin?三.解答题 （共75分）
16．已知角?的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(?3,3). （1）求sin2??tan?的值；
（2）若函数f(x)?cos(x??)cos??sin(x??)sin?，求函数y?3f(?2?2x)?2f2(x)2π在区间?0，?上的取值范围.
??3??
17．一中食堂有一个面食窗口,假设学生买饭所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往学生买饭所需的时间统计结果如下:
1 2 3 4 5 买饭时间（分）
0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 频率
从第一个学生开始买饭时计时.
（理科）(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率;
(2)X表示至第2分钟末已买完饭的人数,求X的分布列及数学期望.
（文科）(1)求第2分钟末没有人买晚饭的概率；
（2）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率.
18．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中 (1)证明： BC1//平面A1CD;
(2)设AA1= AC=CB=2，AB=2错误！未找到引用源。，求三棱锥C一A1DE的体积.
19.已知?an?为等比数列，a1?2,a3?18;?bn?是等差数列，
b1?2,b1?b2?b3?b4?a1?a2?a3?20
(1)求数列?bn?的通项公式及前n项和sn；
(2)设pn?b1?b4?b7?…?b3n?2，Qn?b10?b12?b14?…?b2n?8，其中n?N，试比较pn与Qn的大小，并加以证明.
20． 已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，点P是点F关于y轴的对称点， 过点P的直线交抛物线于A,B两点。
（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA,TB与x轴所在的直线所成 的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由。 （2）若?AOB的面积为
?5，求向量OA,OB的夹角； 2
21.已知函数f(x)?x?2ax?2alnx（x?0，a?R），g(x)?ln2x?2a2?21． 2(1)证明：当a?0时，对于任意不相等的两个正实数x1、x2，均有
f(x1)?f(x2)x?x2?f(1)成立；
22(2)记h(x)?f(x)?g(x)，
2(ⅰ)若y?h?(x)在?1,???上单调递增，求实数a的取值范围； （文科不做）(ⅱ)证明：h(x)?
1. 2
长安一中2014届高三第二次教学质量检测
数学答案
一．选择题（50分） 1 B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 A 7 B 8 B 9 A 10 C 二．填空题:（25分） 11. x?log34 12.k?4. 13. 三．解答题
16. （12分）（1）因为角?终边经过点P(?3,3)，所以sin??6462 14. 15. A．?0,2?； B．； C．3．
63313，3 ，cos???tan???223?sin2??tan??2sin?cos??tan???333 …………… 6分 ???236(2) ?f(x)?cos(x??)cos??sin(x??)sin??cosx ，x?R
?y?3cos(?2x)?2cos2x?3sin2x?1?cos2x?2sin(2x?)?1
262?4???7? ?0?x?,?0?2x?,???2x??336661?????sin(2x?)?1，??2?2sin(2x?)?1?1
626故函数y?3f(????2π??2x)?2f2(x)在区间?0，?上的值域是[?2,1] ………12分 2?3?1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1 17. (理科)（12分）解析:设Y表示学生买饭所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:
Y P (1)A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”,则事件A对应三种情形:
①第一个学生买饭所需的时间为1分钟,且第二个学生买饭所需的时间为3分钟;②第一个学生买饭所需的时间为3分钟,且第二个学生买饭所需的时间为1分钟;③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟.
所以P(A)?P(Y?1)P(Y?3)?P(Y?3)P(Y?1)?P(Y?2)P(Y?2)
?0.1?0.3?0.3?0.1?0.4?0.4?0.22 ………………….(6分)
(2)X所有可能的取值为0,1,2
X?0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟,
所以P(X?0)?P(Y?2)?0.5
X?1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟,
或第一个学生买饭所需的时间为2分钟.